無聊 property (找 $\mathcal L$ set)

在 math2033 tutorial note 上擬了一道找 supremum 的題：

Find the supremum of the set $A:=\{\sqrt{n}-[\sqrt{n}]:n=1,2,3,\dots\}$.

考慮形如 $k^2-1$ 的 integer，容易證明 $\sup A=1$. 亦因此 $\lims (\sqrt{n}-[\sqrt{n}])=1$。同時想起 Kin Li 在 Math301 有這樣的一道題：

證若 $\limi a_n=a,\lims a_n=b$ 及 $\lim (a_{n+1}-a_n)=0$，那麼 $\{a_n\}$ 在 $[a,b]$ 是 dense 的。

期望這樣的題能夠應用到 $A$ 定義出來的 sequence，可惜不成功 (真心覺得那道考試題為出而出 .....)。

最終想到 $A$ 真的是 dense in $(0,1)$ 的，原因只是對所有 $a\in (0,1)$，有 $$\sqrt{[n^2+2an]} - \left[\sqrt{[n^2+2an]}\right] \to a,$$ 這種特性適合作為 Math301 找 "$\mathcal L$ set" 的例子。