整好：http://ihome.ust.hk/~cclee/document/MATH2121/Combine_Notes.pdf
Tuesday, May 21, 2013
Linear Algebra Notes 整合
最近將 winter 自製嘅 6 份 Linear Algebra Notes 合拼，並將 d proof 填上，用左兩日 (屋企``休息" 時間) 將 chapter 1 -- chapter 4 搞掂好哂。遲 d 有時間再搞埋 chapter 5，咁就會完成一份冇人會睇嘅書 == 。其實只係自我娛樂下同當係筆記咁將自己學過嘅野 summarize 返 (以前亦真係有人會印我以書形式製成嘅 notes 做參考架 ^^)。
整好：http://ihome.ust.hk/~cclee/document/MATH2121/Combine_Notes.pdf
整好：http://ihome.ust.hk/~cclee/document/MATH2121/Combine_Notes.pdf
Wednesday, May 15, 2013
完 sem！
又隔左幾個月冇更新呢個 blog。
今個學期真係好辛苦，自己又要 tu 五個 tutorial section，又要搞掂 d background reading (為左做 research)，同時又要做跨境學童過中大讀 real analysis II 同 pde-I (聽聞冇 II? ==)。基本上呢兩科都走左好多堂 (縱然 real analysis II 如 I 一樣教得非常好)。而教 PDE-I 嘅 instructor 完全唔俾 material，唔講進度。如果唔係有 fd 幫我做針我真係完全唔知邊 d 有講邊 d 冇講。PDE-I 辛苦嘅地方係冇人可以同我討論，自己一個磨。turns out 同上個 sem 一樣，theoretical PDE 讀多次都仲係唔太識 PDE。
有鑑於上個 sem 準備左太多野俾學生，以至上唔上 tutorial 都冇所謂，今個 sem 上堂用嘅 notes 都係最多 4 版紙 (i.e., 最多兩張紙)，其中有好多空間俾人寫野 (咁係因為俾太多野學生，根本唔知我想講嘅重點喺邊！)。基本上都係 problems, problems and problems，好少會打 basic theorems 出黎，因為解題時會講返。我另外建立左個 blog (例1, 例2) 去講返所有 solution，但可能冇咁詳細。我估因為呢種 approach 唔錯，85 學生嘅 course (math1014) keep 住有 50 -- 55 學生肯每個星期都露一露面，對我黎講已經好滿足 (我估佢地唔會因為間唔中出左 d 難題目而 e 死我嘅 ...)。
至於呢個 sem 嘅 math2121 (math111) 係正常 linear algebra course 嘅閹割版。唔教 sums，唔教 matrix representation，唯一嘅 inner product 只有 dot product (莫講話何謂 positive/negative definite ...) 。唔講得 set，冇 method of proof，全 computation。我估 prof. 孟喺 UST 教得太耐，深知 spring sem 通常有好多 nonmath major 同數底比較差嘅學生讀，所以故意講得比較慢同講少 d 內容。其實我都教得好無癮，因為我係照返正常 linear algebra 要教嘅野黎講 (我有向 prof 滙報架！)，不過只係得返 d 有能力同有心讀嘅學繼續堅持黎上堂。只可以慨嘆呢個 sem 好多學生可能只係想 pass 左呢個 course 而唔係想學好 linear algebra 呢門最基礎同最簡單嘅學科。
講到教書，有 physics TA 向我反映佢地有我嘅 linear algebra 學生連 matrix 乘落一支 column vector 都唔識乘。我心諗我冇義務喺 tutorial 重新再教一 d 學生本來就要自己睇同識嘅野。我嘅出發點係，只有做數學先可以學好數學，好嘅題目同埋好嘅 idea 係最最最重要，計算從來係只要想做就可以做得好嘅野。我所以通常除左最 basic 要知嘅 computation 以外，都會多講返多少少 linear algebra 裏面最重要嘅概念同數學上嘅論證手法。大學唔係中學，我覺得要降低教學內容到平庸水準去迎合學生係對好嘅學生非常之不合理。況且最 basic 要知嘅野我全部都有詳細咁講，學生吸唔吸收同肯唔肯去學完全唔係我嘅責任。
不過通常我呢 d 觀點都會俾同我對數學抱不同態度嘅人所批評。我識嘅某 d 應數學生同 physics 學生都覺得學 proof 好無謂，識 compute 就得。嗯 ...
下年開始終於轉返做 full-time MPhil，唔駛再做咁多教學同可以專心做我嘅 research。希望 math department 會體恤我呢個學期教左咁多，可以減少我下年嘅職務喇... T"T。
今個學期真係好辛苦，自己又要 tu 五個 tutorial section，又要搞掂 d background reading (為左做 research)，同時又要做跨境學童過中大讀 real analysis II 同 pde-I (聽聞冇 II? ==)。基本上呢兩科都走左好多堂 (縱然 real analysis II 如 I 一樣教得非常好)。而教 PDE-I 嘅 instructor 完全唔俾 material，唔講進度。如果唔係有 fd 幫我做針我真係完全唔知邊 d 有講邊 d 冇講。PDE-I 辛苦嘅地方係冇人可以同我討論，自己一個磨。turns out 同上個 sem 一樣，theoretical PDE 讀多次都仲係唔太識 PDE。
有鑑於上個 sem 準備左太多野俾學生，以至上唔上 tutorial 都冇所謂，今個 sem 上堂用嘅 notes 都係最多 4 版紙 (i.e., 最多兩張紙)，其中有好多空間俾人寫野 (咁係因為俾太多野學生，根本唔知我想講嘅重點喺邊！)。基本上都係 problems, problems and problems，好少會打 basic theorems 出黎，因為解題時會講返。我另外建立左個 blog (例1, 例2) 去講返所有 solution，但可能冇咁詳細。我估因為呢種 approach 唔錯，85 學生嘅 course (math1014) keep 住有 50 -- 55 學生肯每個星期都露一露面，對我黎講已經好滿足 (我估佢地唔會因為間唔中出左 d 難題目而 e 死我嘅 ...)。
至於呢個 sem 嘅 math2121 (math111) 係正常 linear algebra course 嘅閹割版。唔教 sums，唔教 matrix representation，唯一嘅 inner product 只有 dot product (莫講話何謂 positive/negative definite ...) 。唔講得 set，冇 method of proof，全 computation。我估 prof. 孟喺 UST 教得太耐，深知 spring sem 通常有好多 nonmath major 同數底比較差嘅學生讀，所以故意講得比較慢同講少 d 內容。其實我都教得好無癮，因為我係照返正常 linear algebra 要教嘅野黎講 (我有向 prof 滙報架！)，不過只係得返 d 有能力同有心讀嘅學繼續堅持黎上堂。只可以慨嘆呢個 sem 好多學生可能只係想 pass 左呢個 course 而唔係想學好 linear algebra 呢門最基礎同最簡單嘅學科。
講到教書，有 physics TA 向我反映佢地有我嘅 linear algebra 學生連 matrix 乘落一支 column vector 都唔識乘。我心諗我冇義務喺 tutorial 重新再教一 d 學生本來就要自己睇同識嘅野。我嘅出發點係，只有做數學先可以學好數學，好嘅題目同埋好嘅 idea 係最最最重要，計算從來係只要想做就可以做得好嘅野。我所以通常除左最 basic 要知嘅 computation 以外，都會多講返多少少 linear algebra 裏面最重要嘅概念同數學上嘅論證手法。大學唔係中學，我覺得要降低教學內容到平庸水準去迎合學生係對好嘅學生非常之不合理。況且最 basic 要知嘅野我全部都有詳細咁講，學生吸唔吸收同肯唔肯去學完全唔係我嘅責任。
不過通常我呢 d 觀點都會俾同我對數學抱不同態度嘅人所批評。我識嘅某 d 應數學生同 physics 學生都覺得學 proof 好無謂，識 compute 就得。嗯 ...
下年開始終於轉返做 full-time MPhil，唔駛再做咁多教學同可以專心做我嘅 research。希望 math department 會體恤我呢個學期教左咁多，可以減少我下年嘅職務喇... T"T。
Wednesday, January 9, 2013
Thursday, January 3, 2013
完 sem 了
這個 sem 我負責 Math3033 (301) 及 math1018 的導修課。經歷了這個學期，我開 sem 前的那鼓教學熱誠已被徹底磨滅，其中主要的原因是 math3033。
對於 Math3033，我自身從沒有上過這一門課 (我上的是 3043 (204))，所以也沒弄清楚學生 linear algebra 要透澈到甚麼程度。第一堂根據過往的 TA 做法，應當是 review linear algebra。上堂前我也問清楚 kin li (這門課的 instructor) linear algebra 要 review 到甚麼程度，他說：「講返咩係 linear transformation，點樣 choose basis 同 form matrix 就得架喇。」嗯，這沒啥，很基礎的 linear algebra 內容，所以我把 basis，linear transformation 及它的 matrix w.r.t. 某些 basis 講一篇。學生開始亂了 (我第一節課也順帶提一提在 $ \mathbb R^n$ norm 有很多種，但他們是``等價的")，而一些認真的內地的同學問 linear algebra 對這門課是不是非常重要。
有見及此，我接着在 tutorial 盡量把 linear algebra 的內容有多──少說多──少。第一堂 tutorial 已經把不少同學嚇走了，接着的第二第三第 $ \cdots$ 節 tutorial 人數驟降及收斂得很快 (幸而減去 presentation 後立刻離開的一群，這個數字是非 0 的)。到最後一次 tutorial 有 7 人 (除去 present 後即走的人)。
不曉得這個 sem 我出了甚麼問題，是我教的東西太沒意思，太簡單嗎？
對於有意認真學習實分析的同學：Math3033 這門課只有後半學期的內容才是外面的學校 ``實分析" 所涵蓋的用容，所以這門課可以學到的測度論知識實在太少 (老實說，在 UST 讀 3033 這門分析課基本上都學不到實分析裏重要的思想)。建議真的有興趣的學生把 HL Royden, Real Analysis 這本書裏的 part I 及 part III 學好。然後可以找一本書把 $ \mathbb R^n$ 的 measure theory 學好。最後就是多做問題，多看看那些定理的應用 (這也是我 tutorial note 的宗旨，給出了所有 exercise 的解答)。
我的 tutorial notes：
https://sites.google.com/site/mathcclee/past-courses/math3033
我會經常微調這些 notes (因為我太閒，有時看到值得修改的地方便會修改)。當我看到有趣及合理的問題也會放進 exercise 裏。你也可以嘗試裏面的問題然後和我討論，也可以作為挑戰給我一些有趣的題。
對於 Math3033，我自身從沒有上過這一門課 (我上的是 3043 (204))，所以也沒弄清楚學生 linear algebra 要透澈到甚麼程度。第一堂根據過往的 TA 做法，應當是 review linear algebra。上堂前我也問清楚 kin li (這門課的 instructor) linear algebra 要 review 到甚麼程度，他說：「講返咩係 linear transformation，點樣 choose basis 同 form matrix 就得架喇。」嗯，這沒啥，很基礎的 linear algebra 內容，所以我把 basis，linear transformation 及它的 matrix w.r.t. 某些 basis 講一篇。學生開始亂了 (我第一節課也順帶提一提在 $ \mathbb R^n$ norm 有很多種，但他們是``等價的")，而一些認真的內地的同學問 linear algebra 對這門課是不是非常重要。
有見及此，我接着在 tutorial 盡量把 linear algebra 的內容有多──少說多──少。第一堂 tutorial 已經把不少同學嚇走了，接着的第二第三第 $ \cdots$ 節 tutorial 人數驟降及收斂得很快 (幸而減去 presentation 後立刻離開的一群，這個數字是非 0 的)。到最後一次 tutorial 有 7 人 (除去 present 後即走的人)。
不曉得這個 sem 我出了甚麼問題，是我教的東西太沒意思，太簡單嗎？
對於有意認真學習實分析的同學：Math3033 這門課只有後半學期的內容才是外面的學校 ``實分析" 所涵蓋的用容，所以這門課可以學到的測度論知識實在太少 (老實說，在 UST 讀 3033 這門分析課基本上都學不到實分析裏重要的思想)。建議真的有興趣的學生把 HL Royden, Real Analysis 這本書裏的 part I 及 part III 學好。然後可以找一本書把 $ \mathbb R^n$ 的 measure theory 學好。最後就是多做問題，多看看那些定理的應用 (這也是我 tutorial note 的宗旨，給出了所有 exercise 的解答)。
我的 tutorial notes：
https://sites.google.com/site/mathcclee/past-courses/math3033
我會經常微調這些 notes (因為我太閒，有時看到值得修改的地方便會修改)。當我看到有趣及合理的問題也會放進 exercise 裏。你也可以嘗試裏面的問題然後和我討論，也可以作為挑戰給我一些有趣的題。
Wednesday, August 22, 2012
Continue the work before
In this post I have proved the result that \[
\overline{\sin\mathbb{Z}}=\overline{\cos\mathbb{N}}=[-1,1]
\] by purely group theoretical approach. Since I am going to make tutorial notes for the Real Analysis class next semester, I rethink about this problem and further improve the result such that \[
\overline{\sin\mathbb{N}}=[-1,1],
\] based on the findings in that post.
Now by the density we can find intergers $ n_k$ such that $ \sin n_k\to 0$. Let $ p_{k}=|n_k|$, then $ \mathop{\mathrm{sgn}}(n_k) \sin n_k = \sin p_k\to 0$. Pick an $ a\in [-1,1]$, we now show that $a\in \sin \mathbb N$. First of all, there is a sequence of integers $\{h_k\}$ such that $\sin h_k\to a$. Recall the identity that \[\sin x - \sin y = 2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2},\] we have for each $ k$, \[
\sin (h_k+2p_i)-\sin h_k=2\cos (h_k+p_i)\sin p_i\to 0 \quad i\to \infty,\] meaning that $\displaystyle\lim_{i\to\infty}\sin (h_k+2p_i) = \sin h_k$.
Now we are almost done, for each $n\in \mathbb N$, we can find an $ k_n$ such that $ |\sin h_{k_n} -a|<1/n$. Fix this $ k_n$, by the last limit we obtained, we can find an index $ i_n$ such that $ |\sin (h_{k_n}+2p_{i_n})-\sin h_{k_n}|<1/n$ and $ P_n:= h_{k_n}+2p_{i_n} > 0$. Hence \[|\sin P_n-a|\leq |\sin P_n-\sin h_{k_n}|+|\sin h_{k_n} - a|<2/n,\] we conclude $ a\in \overline{\sin \mathbb N}$.
Consequence: The subsequential limits of $ \{\sin n:n\in \mathbb N\}$ are precisely those in $ [-1,1]$.
\overline{\sin\mathbb{Z}}=\overline{\cos\mathbb{N}}=[-1,1]
\] by purely group theoretical approach. Since I am going to make tutorial notes for the Real Analysis class next semester, I rethink about this problem and further improve the result such that \[
\overline{\sin\mathbb{N}}=[-1,1],
\] based on the findings in that post.
Now by the density we can find intergers $ n_k$ such that $ \sin n_k\to 0$. Let $ p_{k}=|n_k|$, then $ \mathop{\mathrm{sgn}}(n_k) \sin n_k = \sin p_k\to 0$. Pick an $ a\in [-1,1]$, we now show that $a\in \sin \mathbb N$. First of all, there is a sequence of integers $\{h_k\}$ such that $\sin h_k\to a$. Recall the identity that \[\sin x - \sin y = 2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2},\] we have for each $ k$, \[
\sin (h_k+2p_i)-\sin h_k=2\cos (h_k+p_i)\sin p_i\to 0 \quad i\to \infty,\] meaning that $\displaystyle\lim_{i\to\infty}\sin (h_k+2p_i) = \sin h_k$.
Now we are almost done, for each $n\in \mathbb N$, we can find an $ k_n$ such that $ |\sin h_{k_n} -a|<1/n$. Fix this $ k_n$, by the last limit we obtained, we can find an index $ i_n$ such that $ |\sin (h_{k_n}+2p_{i_n})-\sin h_{k_n}|<1/n$ and $ P_n:= h_{k_n}+2p_{i_n} > 0$. Hence \[|\sin P_n-a|\leq |\sin P_n-\sin h_{k_n}|+|\sin h_{k_n} - a|<2/n,\] we conclude $ a\in \overline{\sin \mathbb N}$.
Consequence: The subsequential limits of $ \{\sin n:n\in \mathbb N\}$ are precisely those in $ [-1,1]$.
Friday, July 27, 2012
灰
今天如常地搞 workshop，由一開始的 5 人，減少至今天的 3 人。有一班 (3 個) 原打算今天來的，但因為種種原因今天不想來。沒差，3 個就 3 個，氣氛還算不錯，一氣呵成把第 4 課講完。
希望下一次 workshop 人數不會比今天更低。以下為 ``syllabus"。
希望下一次 workshop 人數不會比今天更低。以下為 ``syllabus"。
Monday, July 23, 2012
Some Example from the net
Drawing midway arrow:
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
Subscribe to:
Posts (Atom)