暑假。學

最近都喺到學 real analysis，學習方法係：睇課文，然後完成果個 section/chapter 最少一半問題。基本上 Royden 第 4 edition 嘅 2, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 18(.1, .2, .3, .4), 19(.1, .2), 20(.1, .2) 課都俾我``做"左。唔急於學新嘅野，只求確定自己已學嘅野唔會學得太表面同有果方面嘅解難能力 (當然會驚唔識做 d 問題...但 no pain, no gain)。本來想開始 chapter 21，但，賣割...！因為佢 study locally compact Hausdorff space，有 d result on normal space 要學返──例如 Urysohn's lamma，偏偏就係嚴民冇教果 d。我其實好想佢唔教第 8 課，即講 surface 果課，而講多 d point-set topology ...。

可能有同學問點解我明明已經讀左 math 204 仲要走去讀返 Lebesgue measure 嘅野呢？其實正正係因為讀 204，我發覺有非常大嘅必要去學返好 Lebesgue measure 知識。嚴民教授嘅 math204 課程範圍大得非常之有問題 (個人角度)，要我地短時間由少少 Lebesgue measure (少少，係少少，所有引理/命題/定理全部都只係關注有界集)，然後證完 Carath$\text{\'{e}}$odory 就直接跳去 general measure。冇錯我咁樣識左 general measure $\to$ integration $\to$ product measure $\to$ signed measure, Randon-Nykodym，但學得非常之唔實在。單單 Lebesgue measure 仲有好多課題可以講，Borel $\sigma$-algebra、dense subspace of $L^p(E)$、Egoroff, Lusin's theorem (我記得變左做 exercise)、approximation of measurable function by simple functions (結合 Lebesgue dominated convergence theorem，解 integration 題目嘅利器)、approximation of measurable set by $G_\delta,F_\sigma$ (簡單應用：前者可以用返喺 integration；後者可以證 Lipschitz function take measurable set 去 measurable set)，等等。好可惜，我喺 204 冇機會學到呢 d 基本野。

而喺我學緊呢 d 基本野嘅同時，有一班 year 1 想搞 workshop，我就即刻諗：「仲唔上馬？」順便 pre 一 present 我解過嘅題 (大部份 presentation problem 嘅來源都係 royden，仲有好多 exercise 我未放落 presentation 到，有 d 係 LCM notes 標住 ``difficult" 嘅問題，有 d 係胡繼善份 notes 嘅題且有 d 答案用左三頁紙，但我有方法只做一頁多少少)。

Workshop 嘅 notes 唔打算 upload 上黎 wordpress 住……，等到改好哂之後，確定冇乜錯漏先再放上黎。

其實呢個假唔單止睇 Royden，有 d American Mathematical Society 出版嘅書都寫得非常之好，我抽左一兩個 topic 黎睇。例如，一年前學左 Randon-Nikodym theorem，前幾日知道佢嘅應用──證明當 $1\leq p<\infty$ 時，對於 $\sigma$-finite 嘅 measure space $(X,\mu)$，有 $(L^p(X,\mu))^*=L^q(X,\mu)$，其中 $q$ 為 $p$ 的 conjugate。我打算睇睇同樣嘅 theorem 其他書有冇更好嘅證法。Inder K. Rana 所寫嘅 An Introduction To Measure and Integration 都有同樣嘅證法，不過當 $p>1$ 時佢做多一小步，將結果即刻推廣到任意 measure space $(X,\mu)$，兩頁紙內證完。

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A simple problem for entertainment.

Problem. Let $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be a continuous function. A point $x$ is called a shadow point if there exists a point $y\in \mathbb{R}$ with $y>x$ such that $f(y)>f(x)$. Let $a<b$ be real numbers and suppose that

• All the points of the open interval $I=(a,b)$ are shadow points;


• $a$ and $b$ are not shadow points.

Prove that

1. $f(x)\leq f(b)$ for all $a<x<b$;


2. $f(a)=f(b)$.

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Workshop 已暫停兩個星期 (原因係班人要做人口普查)，下個星期五開始照常繼續。黎緊兩個星期，一日講返多 d measure，一日開始講 approximation of measurable function，換句話說，Littlewood's 3 principle (我譯為``小木三律" =w=) 其中兩條 。