格仔 Blog: September 2011

Saturday, September 24, 2011

開始會使用 fourier series 的方法證明 real analysis 的一些命題 (都是書中的習題)。例如，polynomial is dense in

$C[a,b]$ (有點像副產物)；或是：利用

$L^2(\mathbb R,m)$ 的 hilbert space structure 我們能夠 identify 整個

$\big(L^2(\mathbb R,m)\big)^*$ ，從而我們亦可以 identify 整個

$\big(L^1(\mathbb R,m)\big)^*$ 。

Friday, September 16, 2011

第一次看到 (從 exercise) algebra 在 analysis 有簡單又得意的應用...。例如，證明

$\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt{2}:=\{m+n\sqrt{2}:m,n\in \mathbb Z\}$ 是在

$\mathbb R$ 中稠密 (dense, with usual metric)。證明很簡單，因為

$(\mathbb R,+)$ 中的子群要麼在

$\mathbb R$ 中稠密，要麼可表達成

$\mathbb Z a,a>0$ ，而後者是不可能的，不然

$a\in\mathbb Q\cap( \mathbb R\setminus \mathbb Q)=\emptyset$ 。類似地，不難證明對所有有理數

$q$ 及無理數

$r$ 有

$\overline{\mathbb Z q +\mathbb Z r}=\mathbb R$ 。

有趣的是，對於

$r\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$ 我們考慮

$\langle e^{i r\pi}\rangle=\exp(i\mathbb Z r\pi)=\exp(i(\mathbb Z 2 + \mathbb Z r)\pi)$ ，但

$\mathbb Z 2 + \mathbb Z r$ 在

$\mathbb R$ 中稠密，也就是說由

$e^{ix}$ 在

$\mathbb R$ 上的連續性可知，

$\exp{(i\mathbb Z r\pi)}$ 必定在

$S^1:=\{e^{i\theta}:\theta\in\mathbb{R}\}$ 中稠密！(尤其是，可取

$r = 1/\pi$ ，那麼

$\exp{(i\mathbb Z )}$ 在

$S^1$ 上稠密，因而

$\overline{\sin \mathbb Z} = [-1,1]$ 及

$\overline{\cos \mathbb N} = [-1,1]$ ！)

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