$\Z+2\pi \Z$ 在 $\R$ 中稠密

第一次看到 (從 exercise) algebra 在 analysis 有簡單又得意的應用...。例如，證明 \[\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt{2}:=\{m+n\sqrt{2}:m,n\in \mathbb Z\}\] 是在 $  \mathbb R$ 中稠密 (dense, with usual metric)。證明很簡單，因為 $  (\mathbb R,+)$ 中的子群要麼在 $  \mathbb R$ 中稠密，要麼可表達成 $  \mathbb Z a,a>0$，而後者是不可能的，不然 $  a\in\mathbb Q\cap( \mathbb R\setminus \mathbb Q)=\emptyset$。類似地，不難證明對所有有理數 $  q$ 及 無理數 $  r$ 有 $  \overline{\mathbb Z q +\mathbb Z r}=\mathbb R$。

有趣的是，對於 $  r\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$ 我們考慮 $  \langle e^{i r\pi}\rangle=\exp(i\mathbb Z r\pi)=\exp(i(\mathbb Z 2 + \mathbb Z r)\pi)$，但 $  \mathbb Z 2 + \mathbb Z r$ 在 $  \mathbb R$ 中稠密，也就是說由 $  e^{ix}$ 在 $  \mathbb R$ 上的連續性可知，$  \exp{(i\mathbb Z r\pi)} $ 必定在 $  S^1:=\{e^{i\theta}:\theta\in\mathbb{R}\}$ 中稠密！(尤其是，可取 $  r = 1/\pi$，那麼 $  \exp{(i\mathbb Z )}$ 在  $  S^1$ 上稠密，因而 $  \overline{\sin \mathbb Z} = [-1,1]$ 及 $  \overline{\cos \mathbb N} = [-1,1]$！)