$\Z+2\pi \Z$ 在 $\R$ 中稠密

第一次看到 (從 exercise) algebra 在 analysis 有簡單又得意的應用...。例如，證明 $$\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt{2}:=\{m+n\sqrt{2}:m,n\in \mathbb Z\}$$ 是在 $\mathbb R$ 中稠密 (dense, with usual metric)。證明很簡單，因為 $(\mathbb R,+)$ 中的子群要麼在 $\mathbb R$ 中稠密，要麼可表達成 $\mathbb Z a,a>0$，而後者是不可能的，不然 $a\in\mathbb Q\cap( \mathbb R\setminus \mathbb Q)=\emptyset$。類似地，不難證明對所有有理數 $q$ 及 無理數 $r$ 有 $\overline{\mathbb Z q +\mathbb Z r}=\mathbb R$。

有趣的是，對於 $r\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$ 我們考慮 $\langle e^{i r\pi}\rangle=\exp(i\mathbb Z r\pi)=\exp(i(\mathbb Z 2 + \mathbb Z r)\pi)$，但 $\mathbb Z 2 + \mathbb Z r$ 在 $\mathbb R$ 中稠密，也就是說由 $e^{ix}$ 在 $\mathbb R$ 上的連續性可知，$\exp{(i\mathbb Z r\pi)}$ 必定在 $S^1:=\{e^{i\theta}:\theta\in\mathbb{R}\}$ 中稠密！(尤其是，可取 $r = 1/\pi$，那麼 $\exp{(i\mathbb Z )}$ 在  $S^1$ 上稠密，因而 $\overline{\sin \mathbb Z} = [-1,1]$ 及 $\overline{\cos \mathbb N} = [-1,1]$！)