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office 某人問我以下一條從 probability 書抽出來的 exercise：

Problem. Suppose that $\{c_{jn}\in \R: j\leq n, n=1,2,3,\dots \}$ satisfies $\dis \lim_{n\to \infty}\sum_{j=1}^n c_{jn}=\lambda$ and $\dis \limn \max_{1\leq j\leq n}|c_{jn}|=0$, prove that \[ \limn \prod_{j=1}^n  (1+c_{jn})=e^\lambda=\exp \brac{
\lim_{n\to \infty}\sum_{j=1}^n c_{jn}}.\]  

不難的，可作為不錯的 Math2033 exercise。 這 identiy 告訴我們只要知道 $\limn\sum_{j=1}^n c_{jn}$ 就可以計算相關的 infinite product。當 $c_{jn}$ 與 $j$ 無關時相信是 elementary analysis 裏非常 standard 的 exercise。齊來取一些 numerical example 看看能否得到有趣的 identity。

• $c_{jn}=1/n\implies \dis \limn \prod_{j=1}^n  \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)=\limn \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n=e$
• If $p> 1$, $\dis c_{jn} = 1/n^p\implies \limn \prod_{j=1}^n \bigg(1+\frac{1}{n^p}\bigg) = \limn \bigg(1+\frac{1}{n^p}\bigg)^n=e^{\limn\frac{1}{n^{p-1}}}=1$
• $\dis c_{jn}= \frac{j^k}{n^{k+1}} \implies \dis \limn \prod_{j=1}^n \bigg(1+ \frac{j^k}{n^{k+1}}\bigg)=\exp \bigg(\limn \frac{\sum_{j=1}^n j^k}{n^{k+1}}\bigg)=e^{1/(k+1)}$
• $\dis c_{jn} = B_n \times \int_{j-1}^j f(x)\,dx$, then \[ \limn \prod_{j=1}^n \bigg(1+B_n \int_{j-1}^j f(x)\,dx \bigg) =\exp \brac{\limn B_n\int_0^n f(x)\,dx},\] in particular, if we take $B_n =(\int_{j-1}^j f(x)\,dx )^{-1}$, then \[ \max_{1\leq j\leq n}\left| \frac{\int_{j-1}^j f(x)\,dx}{\int_0^n f(x)\,dx} \right|\to 0\implies \limn \prod_{j=1}^n \bigg(1+\frac{\int_{j-1}^j f(x)\,dx}{\int_0^n f(x)\,dx} \bigg)  = e. \]
• Many examples of infinite products converge to $1$.

1. 金色的築山──打錢的一個限時地下城，打了兩石，一小時內讓我從 100 多萬金幣回復到 2000 多萬。和土日地下城一樣用以下隊伍配上隊友的 297 水龍女：

2. 義愛龍地城，隊伍需有齊 5 種屬性的寵物，碰巧發現我有齊所有屬性的惡魔寵，因此組出了以下高血高回的呂爖全屬隊 .......，每一層都是磨磨磨！

當然都是 0 石。

3.  今天星寶，打了 4 石共有 60 隻 + 蛋，沒有紅奧不曉得怎樣在一小時內打 100 隻 + 蛋 ...。

4.  終於 466 rank 了，有着 249 的體力，和 250 體幾乎沒有任何差別。現在在這遊戲上會放慢進度，專心報學校和寫為各大學校而設的 personal statement。恐怕 567 rank 會是半年後的事。

5. 可善用 250 體的優勢狂刷素材升技了，星矢地下城有很多我可用作升技的寵 XD。

遊戲內的錢不夠用 ...

幸好戰友表那有人掛升好的錢印，那我用水龍女隊嘗試用水屬強硬輾吧 ...。

以上 + 值為 0 及有 9 個水橫一列。遇上緊急的情況開水龍女 / 水魔神，只要不是同時被 3 隻寵打便沒有危險（可回起來！）

175 萬，大概可讓我再買一次機龍 rush！

以機龍 rush 衝 rank！

到達 467 rank 的話便有 250 體，這體力刷甚麼都很方便，因此這幾天玩 pad 時都只會集中在升 rank 這方面（ECO 有空才刷吧，畢竟 change the world 這技能不需要那麼多呀 ...）。

可購入地下城有「機械龍ラッシュ！」，這是比神神王衝等更快的關呀！以下是這關可取得的最大經驗值：

也就是經耐比是 1103.5，比神神王平均的 824 多很多。經驗值會因此關的 追擊者 的（亂入）出現而有所減少。可幸的是亂入率很低，因此 55175 可視為本關的固定經驗。機龍 rush 比神神王多 3 倍經驗，也就是說升 rank 速度是平時的 3 倍速！

在本篇日記前的截圖可以看到我的金錢量從 27xx 萬變成 13xx 萬 ...。機龍 rush 真的很貴，要開始練一隻新光印度神（錢印）了。

在網上看到的快刷隊有的是潘多拉隊，但我的潘隊 + 值不高，也沒有雙服步，嘗試數次後便方棄以潘隊刷機龍 rush。反而使用上較傳統的呂龍隊：

翻車率經過重覆的試驗後降為 10 埸最多死 1 埸。能以白虎 + BT 暗防 + 呂布技進入王關的話從來沒有失手過！以往我呂龍隊都只會帶一隻火龍女，和上面不同的是隊員的龍女多換成暗暗路作點燈用。用多了上圖的隊後開始覺得點燈作用實在不大 ...，要殺 450 萬血或以下的王根本不需要點燈呀！...  （看來暗暗路是白練了 ...，很少關的王有多達 600 萬血）

在

打 4 埸 --> 刷挑戰者模式 --> 取石 --> 吃石 --> 從機龍 rush 那升 rank，再打 4 埸 --> ...

在這個 loop 下可持續地一日內升了 10 rank。非常可能地，將離 467 從之前想的一個月大幅會縮短為 2 至 3 日...。

機械式衝等 ...

最近的雙週 / 降臨地下城在有多餘體力下會為了領石進去一次，因沒甚麼技想升，所以現在把所有自然回復的體力投放到升 rank 上。現在剛升滿 1 rank，把所有體力用來刷神神王後距離下一次升 rank 還差半條經驗 .......

按這步伐只能一日一 rank，離 467 rank 還有最少一個月 ...... 很漫長 T_T。

此外，通常每條體都有 5 顆 + 蛋的收穫，兩個月就有一隻 297 了！但因 24x 和 29x 相差不大，現在大多餵至 24x 左右便會停止。現在 + 值都在餵代行，現 108 + 值，期望白盾新究進令代行隊變得更強。

看來為了更有效衝等，只好把時間計盡，半夜起身刷神王了 ...。

1000 日活動抽蛋

1. 因之前在超人合作抽蛋那重傷，這次在前半神 up 抽 1 pack，後半 4 抽應節。

在前半神 up 的 10 隻寵物中只有洛基和雷神是我想要的，最後只抽到洛基，還來兩隻。

但最後抽到藍奧，這 1 pack 算是值了！在後半神 up 4 抽 3 金，舊水印、第 2 隻白虎 和 大國主，結束抽蛋。

2. 因白盾及異色盾在將推出的新究進中需要那隻超肥大的龍王作素材，剛巧最近有龍 rush，嗯，抱着必須用石過的決心嘗試挑戰。在第一次挑戰便遇到了！

因這貨有着 150 萬的防禦力，別無他法下把所有的技用盡，寄望 23x + 值的服步可以打穿他，最後成功進入最後一關：

可惜吸暗屬攻擊 ...。用了 2 石捱過吸暗後，它再發動吸暗 ...，又用了 2 石捱過，最後終於吸光了 ...。

再一次使用白虎服步，點燈，然後輕鬆解決。現在回想為了這隻龍王打絕地獄的關很傻，因白盾的新究進出現後必定會有送龍王的關 -_-。

$\ol{A+B}=\ol A + \ol B$? 知識愈多，想法愈笨

最近有 Math4061（即 370）的學生來 office 問我功課的問題，其中一道題是：

Let $A,B$ be subsets of a normed space, is $\ol{A+B}=\ol A+\ol B$ always true?

這道題我很有印像，我肯定自己上這門課時答過這題。經歷 4 年多後，我立刻想到的 example 是：

例 1.  $A=\Z,B=2\pi \Z$, 其中 $A,B$ 皆為 closed set，因而有 \[
\ol{A+B}:=\ol{\Z+2\pi \Z}=\R  \neq \Z+2\pi \Z =:  A+B  = \ol{A}+\ol{B}\foot\qed
\]
但學生不滿意，因他未學過 $\ol{\Z+2\pi \Z}=\R$ 這性質（詳見 本篇日記，其實沒有 course 會教吧 ...）。那麼我再想想有甚麼 4061 必懂的知識解答。我再作一個 example：

例 2. 設 \[A=\spann\{1,x^2,x^4,\dots\}\] 以及 \[B=\spann\{x,x^3,x^5,\dots\}\] 為 $C[-1,1]$ 的 subspace（更明確地，讓我們記 $x=\mathrm{id}|_{[-1,1]}$），容易證明 \[\ol A=\{f(x^2)|_{[-1,1]}:f\in C[0,1]\}\quad \text{及}\quad \ol B=\{xf(x^2)|_{[-1,1]}:f\in C[0,1]\}\text{，}\]且由 Weierstrass approximation 有 $\ol{A+B}=\ol{\mathbb P[-1,1]}=C[-1,1]$，因此問題變成研究 \[
\ol{A+B}=C[-1,1]\stackrel{\bm{\Large?}}{=} \{f(x^2) +xg(x^2):f,g\in C[0,1]\}=\ol A + \ol B\text{。}
\] 不難證明上述的左右邊不相等。為此，設 $\phi(x) = f(x^2)+xg(x^2)$ for some $f,g\in C[0,1]$，我們嘗試尋找 $\phi$ 必須要有的 condition。

留意到當 $x\neq 0$ 時，必有 \[
\frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}=2g(x^2)\comma
\]亦因此 $\dis \lim_{x\to 0}  \frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}$ 必定存在。顯然  $\dis \begin{cases}0,&x=0,\\ \dis   x\sin \frac{1}{x^2},& x\neq 0\end{cases}$ 是不能滿足此條件的 continuous function on $[-1,1]$，故 $\ol{A+B}\neq \ol A+\ol B$。$\qed$

但 4 年多前，我作為 year 1 學生，會想這麼多嗎？我不認為自已有能力想得這麼複雜（那時我上 Math204 只有粗粗學過較為"玄"的 analysis，Weierstrass approximaton 甚麼的頂多聽過絕無用過），再找找我以前被批改過的功課，發現我以前作了以下 example：

例 3. 考慮
\[
A= \{-1,-2,-3,\dots\}\quad \text{和}\quad B=\left \{2+\frac{1}{2},3+\frac{1}{3},4+\frac{1}{4},\dots \right\}
\] 容易看到 $\ol A=A,\ol B=B$，及 $0\in \ol{A+B}$ 但 $0\not\in A+B$。$\qed$

多簡單！ ............ （不排除我那時不懂這題然後找 kin li 問 "hint" 的可能性）

最後討論一下甚麼時候 $\ol {A+B}=\ol A+\ol B$。對於 $\R^n$ 這類較簡單的 normed vector space，容易證明當 $A$ 或 $B$ 其中一個是 bounded 時有 $\ol{A+B}=\ol A + \ol B$。

緊急技 up

嗯，沒有活動的星期 3 按慣例有「緊急」技 up，最後 4 技用了 20 隻 "魔眼怪鳥" 把水天使的技升滿：

最後把水天使的 level 升滿便可以打降臨：（高血的水回隊）

以上隊員全滿技，而水雙子在 "UFO" 活動前並未抽到，技還沒練滿，也沒心力刷那條升技的水龍。

久沒更新

最近發現購買地下城的表裏有水神祕龍，突然想起 ── 呀！ ... 水天使的升技寵！

買了 3 小時，現在這支鳥的名字還是不清楚（暫且稱為升技鳥）。水神祕龍的關有掉 10 隻已進化了的升技鳥，但吃 10 的結果只有升 1 ...。

經歷數天，不停的打呀打，打 3 種不太扯但跌率低的進化素材（水 eason、水鬼面、水面具），然後把上面的升技鳥進化：

小的要求不多，只望再升 4 技（即升滿！）。

最近抽到水鎧騎士，試組一隊水龍女隊（因水波利王的三圍實在太低，一直不想組 ...）：

如抽到商業神必把青龍換掉。以上每隻只有 1 、2 點 + 值。然後找一個 297 的水龍女嘗試爆發：（2 串水）

想說為甚麼水龍女攻擊力會比鎧騎士低 ...，原來水龍女和水魔神竟不是神 type 囧。只好乖乖練一隻水波利王了...。

如果 + 值不夠多的話，水龍女隊沒比火龍女隊好。惡魔隊員簡簡單單都能衝上 1700 攻擊力 （沒 + 值下），單隻爆發在惡魔 2.5 倍加成下簡簡單單就能衝上 100 萬 ...，但水龍女隊主要的體力隊員攻擊力多不突出...，暫時看來水龍女隊是另類的可爆發型磨隊（短期內也不能用來挑戰降臨 ...）。而且同樣是 + 值足夠的話，呂龍隊的回復力也不差，甚至比回復隊好。