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Saturday, November 15, 2014

¯A+B=¯A+¯B? 知識愈多,想法愈笨

最近有 Math4061(即 370)的學生來 office 問我功課的問題,其中一道題是:

Let A,B be subsets of a normed space, is ¯A+B=¯A+¯B always true?

這道題我很有印像,我肯定自己上這門課時答過這題。經歷 4 年多後,我立刻想到的 example 是:

例 1.  A=Z,B=2πZ, 其中 A,B 皆為 closed set,因而有 ¯A+B:=¯Z+2πZ=RZ+2πZ=:A+B=¯A+¯B
但學生不滿意,因他未學過 ¯Z+2πZ=R 這性質(詳見 本篇日記,其實沒有 course 會教吧 ...)。那麼我再想想有甚麼 4061 必懂的知識解答。我再作一個 example:

例 2. A=span{1,x2,x4,} 以及 B=span{x,x3,x5,}C[1,1] 的 subspace(更明確地,讓我們記 x=id|[1,1]),容易證明 ¯A={f(x2)|[1,1]:fC[0,1]}¯B={xf(x2)|[1,1]:fC[0,1]}且由 Weierstrass approximation 有 ¯A+B=¯P[1,1]=C[1,1],因此問題變成研究 ¯A+B=C[1,1]?={f(x2)+xg(x2):f,gC[0,1]}=¯A+¯B 不難證明上述的左右邊不相等。為此,設 ϕ(x)=f(x2)+xg(x2) for some f,gC[0,1],我們嘗試尋找 ϕ 必須要有的 condition。

留意到當 x0 時,必有 ϕ(x)ϕ(x)x=2g(x2)亦因此 lim 必定存在。顯然  \dis \begin{cases}0,&x=0,\\ \dis   x\sin \frac{1}{x^2},& x\neq 0\end{cases} 是不能滿足此條件的 continuous function on [-1,1],故 \ol{A+B}\neq \ol A+\ol B\qed

但 4 年多前,我作為 year 1 學生,會想這麼多嗎?我不認為自已有能力想得這麼複雜(那時我上 Math204 只有粗粗學過較為"玄"的 analysis,Weierstrass approximaton 甚麼的頂多聽過絕無用過),再找找我以前被批改過的功課,發現我以前作了以下 example:

例 3. 考慮
A= \{-1,-2,-3,\dots\}\quad \text{和}\quad B=\left \{2+\frac{1}{2},3+\frac{1}{3},4+\frac{1}{4},\dots \right\} 容易看到 \ol A=A,\ol B=B,及 0\in \ol{A+B}0\not\in A+B\qed

多簡單! ............ (不排除我那時不懂這題然後找 kin li 問 "hint" 的可能性)

最後討論一下甚麼時候 \ol {A+B}=\ol A+\ol B。對於 \R^n 這類較簡單的 normed vector space,容易證明當 AB 其中一個是 bounded 時有 \ol{A+B}=\ol A + \ol B

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