$\ol{A+B}=\ol A + \ol B$? 知識愈多，想法愈笨

最近有 Math4061（即 370）的學生來 office 問我功課的問題，其中一道題是：

Let $A,B$ be subsets of a normed space, is $\ol{A+B}=\ol A+\ol B$ always true?

這道題我很有印像，我肯定自己上這門課時答過這題。經歷 4 年多後，我立刻想到的 example 是：

例 1.  $A=\Z,B=2\pi \Z$, 其中 $A,B$ 皆為 closed set，因而有 \[
\ol{A+B}:=\ol{\Z+2\pi \Z}=\R  \neq \Z+2\pi \Z =:  A+B  = \ol{A}+\ol{B}\foot\qed
\]
但學生不滿意，因他未學過 $\ol{\Z+2\pi \Z}=\R$ 這性質（詳見 本篇日記，其實沒有 course 會教吧 ...）。那麼我再想想有甚麼 4061 必懂的知識解答。我再作一個 example：

例 2. 設 \[A=\spann\{1,x^2,x^4,\dots\}\] 以及 \[B=\spann\{x,x^3,x^5,\dots\}\] 為 $C[-1,1]$ 的 subspace（更明確地，讓我們記 $x=\mathrm{id}|_{[-1,1]}$），容易證明 \[\ol A=\{f(x^2)|_{[-1,1]}:f\in C[0,1]\}\quad \text{及}\quad \ol B=\{xf(x^2)|_{[-1,1]}:f\in C[0,1]\}\text{，}\]且由 Weierstrass approximation 有 $\ol{A+B}=\ol{\mathbb P[-1,1]}=C[-1,1]$，因此問題變成研究 \[
\ol{A+B}=C[-1,1]\stackrel{\bm{\Large?}}{=} \{f(x^2) +xg(x^2):f,g\in C[0,1]\}=\ol A + \ol B\text{。}
\] 不難證明上述的左右邊不相等。為此，設 $\phi(x) = f(x^2)+xg(x^2)$ for some $f,g\in C[0,1]$，我們嘗試尋找 $\phi$ 必須要有的 condition。

留意到當 $x\neq 0$ 時，必有 \[
\frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}=2g(x^2)\comma
\]亦因此 $\dis \lim_{x\to 0}  \frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}$ 必定存在。顯然  $\dis \begin{cases}0,&x=0,\\ \dis   x\sin \frac{1}{x^2},& x\neq 0\end{cases}$ 是不能滿足此條件的 continuous function on $[-1,1]$，故 $\ol{A+B}\neq \ol A+\ol B$。$\qed$

但 4 年多前，我作為 year 1 學生，會想這麼多嗎？我不認為自已有能力想得這麼複雜（那時我上 Math204 只有粗粗學過較為"玄"的 analysis，Weierstrass approximaton 甚麼的頂多聽過絕無用過），再找找我以前被批改過的功課，發現我以前作了以下 example：

例 3. 考慮
\[
A= \{-1,-2,-3,\dots\}\quad \text{和}\quad B=\left \{2+\frac{1}{2},3+\frac{1}{3},4+\frac{1}{4},\dots \right\}
\] 容易看到 $\ol A=A,\ol B=B$，及 $0\in \ol{A+B}$ 但 $0\not\in A+B$。$\qed$

多簡單！ ............ （不排除我那時不懂這題然後找 kin li 問 "hint" 的可能性）

最後討論一下甚麼時候 $\ol {A+B}=\ol A+\ol B$。對於 $\R^n$ 這類較簡單的 normed vector space，容易證明當 $A$ 或 $B$ 其中一個是 bounded 時有 $\ol{A+B}=\ol A + \ol B$。