Let A,B be subsets of a normed space, is ¯A+B=¯A+¯B always true?
這道題我很有印像,我肯定自己上這門課時答過這題。經歷 4 年多後,我立刻想到的 example 是:
例 1. A=Z,B=2πZ, 其中 A,B 皆為 closed set,因而有 ¯A+B:=¯Z+2πZ=R≠Z+2πZ=:A+B=¯A+¯B。◼
但學生不滿意,因他未學過 ¯Z+2πZ=R 這性質(詳見 本篇日記,其實沒有 course 會教吧 ...)。那麼我再想想有甚麼 4061 必懂的知識解答。我再作一個 example:
例 2. 設 A=span{1,x2,x4,…} 以及 B=span{x,x3,x5,…} 為 C[−1,1] 的 subspace(更明確地,讓我們記 x=id|[−1,1]),容易證明 ¯A={f(x2)|[−1,1]:f∈C[0,1]}及¯B={xf(x2)|[−1,1]:f∈C[0,1]},且由 Weierstrass approximation 有 ¯A+B=¯P[−1,1]=C[−1,1],因此問題變成研究 ¯A+B=C[−1,1]?={f(x2)+xg(x2):f,g∈C[0,1]}=¯A+¯B。 不難證明上述的左右邊不相等。為此,設 ϕ(x)=f(x2)+xg(x2) for some f,g∈C[0,1],我們嘗試尋找 ϕ 必須要有的 condition。
留意到當 x≠0 時,必有 ϕ(x)−ϕ(−x)x=2g(x2),亦因此 lim 必定存在。顯然 \dis \begin{cases}0,&x=0,\\ \dis x\sin \frac{1}{x^2},& x\neq 0\end{cases} 是不能滿足此條件的 continuous function on [-1,1],故 \ol{A+B}\neq \ol A+\ol B。\qed
但 4 年多前,我作為 year 1 學生,會想這麼多嗎?我不認為自已有能力想得這麼複雜(那時我上 Math204 只有粗粗學過較為"玄"的 analysis,Weierstrass approximaton 甚麼的頂多聽過絕無用過),再找找我以前被批改過的功課,發現我以前作了以下 example:
例 3. 考慮
A= \{-1,-2,-3,\dots\}\quad \text{和}\quad B=\left \{2+\frac{1}{2},3+\frac{1}{3},4+\frac{1}{4},\dots \right\} 容易看到 \ol A=A,\ol B=B,及 0\in \ol{A+B} 但 0\not\in A+B。\qed
多簡單! ............ (不排除我那時不懂這題然後找 kin li 問 "hint" 的可能性)
最後討論一下甚麼時候 \ol {A+B}=\ol A+\ol B。對於 \R^n 這類較簡單的 normed vector space,容易證明當 A 或 B 其中一個是 bounded 時有 \ol{A+B}=\ol A + \ol B。
例 1. A=Z,B=2πZ, 其中 A,B 皆為 closed set,因而有 ¯A+B:=¯Z+2πZ=R≠Z+2πZ=:A+B=¯A+¯B。◼
但學生不滿意,因他未學過 ¯Z+2πZ=R 這性質(詳見 本篇日記,其實沒有 course 會教吧 ...)。那麼我再想想有甚麼 4061 必懂的知識解答。我再作一個 example:
例 2. 設 A=span{1,x2,x4,…} 以及 B=span{x,x3,x5,…} 為 C[−1,1] 的 subspace(更明確地,讓我們記 x=id|[−1,1]),容易證明 ¯A={f(x2)|[−1,1]:f∈C[0,1]}及¯B={xf(x2)|[−1,1]:f∈C[0,1]},且由 Weierstrass approximation 有 ¯A+B=¯P[−1,1]=C[−1,1],因此問題變成研究 ¯A+B=C[−1,1]?={f(x2)+xg(x2):f,g∈C[0,1]}=¯A+¯B。 不難證明上述的左右邊不相等。為此,設 ϕ(x)=f(x2)+xg(x2) for some f,g∈C[0,1],我們嘗試尋找 ϕ 必須要有的 condition。
留意到當 x≠0 時,必有 ϕ(x)−ϕ(−x)x=2g(x2),亦因此 lim 必定存在。顯然 \dis \begin{cases}0,&x=0,\\ \dis x\sin \frac{1}{x^2},& x\neq 0\end{cases} 是不能滿足此條件的 continuous function on [-1,1],故 \ol{A+B}\neq \ol A+\ol B。\qed
但 4 年多前,我作為 year 1 學生,會想這麼多嗎?我不認為自已有能力想得這麼複雜(那時我上 Math204 只有粗粗學過較為"玄"的 analysis,Weierstrass approximaton 甚麼的頂多聽過絕無用過),再找找我以前被批改過的功課,發現我以前作了以下 example:
例 3. 考慮
A= \{-1,-2,-3,\dots\}\quad \text{和}\quad B=\left \{2+\frac{1}{2},3+\frac{1}{3},4+\frac{1}{4},\dots \right\} 容易看到 \ol A=A,\ol B=B,及 0\in \ol{A+B} 但 0\not\in A+B。\qed
多簡單! ............ (不排除我那時不懂這題然後找 kin li 問 "hint" 的可能性)
最後討論一下甚麼時候 \ol {A+B}=\ol A+\ol B。對於 \R^n 這類較簡單的 normed vector space,容易證明當 A 或 B 其中一個是 bounded 時有 \ol{A+B}=\ol A + \ol B。
No comments:
Post a Comment