notes 喺每次 workshop 前準備，打下打下都 40 頁 notes。都整得幾辛苦，d theorem 用就用得多，從新 develop 返出黎都幾麻煩。any way 對我黎講得著唔係太多 :)，因為 d 野都比較 basic。希望下個 summer 會有人幫我完成埋 integration 果 part 同埋 expand 返第一課嘅野 (compactness, total boundedness, completeness, connectedness, etc)。
Sunday, August 14, 2011
Workshop 結束
其實原名為 workshop in real analysis，最後 workshop 講唔到 integration，時間不足。我地有 7 次 meeting，每次用一至一個半鐘黎做 present，10 至 15 分鐘休息及將淨低嘅時間用黎講 notes。每次 workshop 為時三個鐘。已講 topic:
notes 喺每次 workshop 前準備，打下打下都 40 頁 notes。都整得幾辛苦，d theorem 用就用得多，從新 develop 返出黎都幾麻煩。any way 對我黎講得著唔係太多 :)，因為 d 野都比較 basic。希望下個 summer 會有人幫我完成埋 integration 果 part 同埋 expand 返第一課嘅野 (compactness, total boundedness, completeness, connectedness, etc)。
notes 喺每次 workshop 前準備，打下打下都 40 頁 notes。都整得幾辛苦，d theorem 用就用得多，從新 develop 返出黎都幾麻煩。any way 對我黎講得著唔係太多 :)，因為 d 野都比較 basic。希望下個 summer 會有人幫我完成埋 integration 果 part 同埋 expand 返第一課嘅野 (compactness, total boundedness, completeness, connectedness, etc)。
Thursday, August 11, 2011
無聊之下嘅產物
喺 Royden (4th edition) p.452 有一 Theorem 將 locally compact Hausdorff space 有嘅 property 集埋一齊：
其中證明 (iii) 嘅主要工具係 Urysohn's lemma，但由 Urysohn's lemma 又可推出 Tietze Extension Theorem， 從 (iii) 我地應該可以做得更多。
$ K\subseteq U\subseteq \overline{U}\subseteq V\subseteq \overline{V}\subseteq \mathcal O$.
Now we do our extension, as $ \overline{V}$ is a compact Hausdorff space, $ f$ is continuous (w.r.t. subspace topology) on $ K$, by the Tietze extension theorem there is a $ \mathcal F\in C (\overline{V})$ such that $ \mathcal F|_{K}= f|_K$, we extend $ \mathcal{F}$ on $ X\setminus \overline{V}$ by defining $ \mathcal F|_{X\setminus \overline{V}}\equiv 0$. The change of $ \mathcal F$ between $ \overline{V}$ and $ X\setminus \overline{V}$ may not be continuous, we will try to ``smooth" this transition. As $ K$ is compact and $ U\supseteq K$, by (iii) of theorem 7 there is a $ \psi \in C_c(X)$ such that $ 0\leq \psi \leq 1$, $ \psi=1$ on $ K$ and $ \psi=0$ on $ X\setminus U$. Now we claim that the product of continuous functions $ F:= \mathcal F \cdot \psi$ will do.
Clearly $ \mathop{\mathrm{supp}} F \subseteq \mathop{\mathrm{supp}} \psi$, hence $ F$ has compact support. To show $ F$ is continuous on $ X$ we use the following fact:
When $ |f|\leq M$ on $ K$, we repeat the proof above but that time $ \mathcal F$ can be chosen such that $ |\mathcal F|\leq M$ by the following version of Tietze extension theorem.$\qed$
建立呢種 extension 嘅原因係為左證明 Lusin's theorem on $ (X,\mathcal B(X),\mu)$，其中 $ X$ 為 locally compact Hausdorff，$ B(X)$ 為 Borel $ \sigma$-algebra on $ X$ 及 $ \mu$ 為 Radon measure (Royden's definition: A Borel measure such that Borel set is outer regular and open set is inner regular)，我嘅 approach (某習題) 係先證明 Lusin's theorem 對 simple function 成立，從而利用 simple functions $ \{\phi_n\}$, $ \phi_n\to f$ pointwise 及 Egoroff's theorem 及再利用上述 extension 完成證明 (已證明若 $ E\in \mathcal B(X),\mu(E)<\infty$，那麼 $ E$ 是 inner regular)。
**********
Some problem for entertainment:
Problem. Let $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a differentiable function so that $ \displaystyle\left|f(x)-\sin(x^2)\right|\le\frac{1}{4}$ for any $ x\in\mathbb{R}$. Prove that there exists a sequence of real numbers $ \{x_n\}_{n=1}^\infty$ for which $ \lim_{n\to\infty} f'(x_n)=+\infty$ .
其中證明 (iii) 嘅主要工具係 Urysohn's lemma，但由 Urysohn's lemma 又可推出 Tietze Extension Theorem， 從 (iii) 我地應該可以做得更多。
Modification of (iii). Let $ X$ be locally compact Hausdorff. If $ \mathcal O$ is a neighborhood of a compact subset $ K$ of $ X$, then the continuous function $ f:K\to \mathbb R$ may be extended to a function $ F\in C_c(X)$ for which $ F$ vanishes outside $ \mathcal O$.Proof. As $ K$ is compact and $ \mathcal O\supseteq K$, by (ii) of theorem 7 above there is an open $ V$ such that $ K\subseteq V\subseteq \overline{V}\subseteq \mathcal O$ with $ \overline{V}$ compact. Once again by (ii) of theorem 7 above there is an open $ U$ such that
If $ f$ is bounded, say $ |f|\leq M$ for some $ M>0$, then the extension above can be chosen so that $ |F|\leq M$ on $ X$.
$ K\subseteq U\subseteq \overline{U}\subseteq V\subseteq \overline{V}\subseteq \mathcal O$.
Now we do our extension, as $ \overline{V}$ is a compact Hausdorff space, $ f$ is continuous (w.r.t. subspace topology) on $ K$, by the Tietze extension theorem there is a $ \mathcal F\in C (\overline{V})$ such that $ \mathcal F|_{K}= f|_K$, we extend $ \mathcal{F}$ on $ X\setminus \overline{V}$ by defining $ \mathcal F|_{X\setminus \overline{V}}\equiv 0$. The change of $ \mathcal F$ between $ \overline{V}$ and $ X\setminus \overline{V}$ may not be continuous, we will try to ``smooth" this transition. As $ K$ is compact and $ U\supseteq K$, by (iii) of theorem 7 there is a $ \psi \in C_c(X)$ such that $ 0\leq \psi \leq 1$, $ \psi=1$ on $ K$ and $ \psi=0$ on $ X\setminus U$. Now we claim that the product of continuous functions $ F:= \mathcal F \cdot \psi$ will do.
Clearly $ \mathop{\mathrm{supp}} F \subseteq \mathop{\mathrm{supp}} \psi$, hence $ F$ has compact support. To show $ F$ is continuous on $ X$ we use the following fact:
Fact. Let $ X=\cup_\alpha X_\alpha$ be a union of open subsets. Then $ f:X\to Y$ is continuous if and only if the restrictions $ f|_{X_\alpha}:X_\alpha \to Y$ are continuous, where $ X_i$ has the subspace topology.
Proof. It follows from the observation that: For any subset $ A$ of $ Y$, $ f^{-1}(A)= \cup_{\alpha} (f|_{X_\alpha})^{-1}(A)$.$\qed$Observe that both $ X_1:=V$ and $ X_2:=X\setminus \overline{U}$ are open, $ X=X_1\cup X_2$. It is enough to argue $ F|_{X_i}$'s are continuous. On $ X_1$, since $ \mathcal F$ is a continuous function on $ \overline{V}$, $ \mathcal F|_V$ is therefore a continuous function on $ V$. And as $ \psi$ is continuous on $ X$, so $ F|_{X_1}$ is continuous. On $ X_2$, since $ \psi|_{X\setminus U}\equiv 0$ $ \implies$ $ \psi|_{X\setminus \overline{U}} \equiv 0$, and thus $ F|_{X\setminus \overline{U}} \equiv 0$, hence $ F|_{X_2}$ is continuous on $ X_2$. We also note that $ F|_{X\setminus \mathcal O}\equiv 0$.
When $ |f|\leq M$ on $ K$, we repeat the proof above but that time $ \mathcal F$ can be chosen such that $ |\mathcal F|\leq M$ by the following version of Tietze extension theorem.$\qed$
建立呢種 extension 嘅原因係為左證明 Lusin's theorem on $ (X,\mathcal B(X),\mu)$，其中 $ X$ 為 locally compact Hausdorff，$ B(X)$ 為 Borel $ \sigma$-algebra on $ X$ 及 $ \mu$ 為 Radon measure (Royden's definition: A Borel measure such that Borel set is outer regular and open set is inner regular)，我嘅 approach (某習題) 係先證明 Lusin's theorem 對 simple function 成立，從而利用 simple functions $ \{\phi_n\}$, $ \phi_n\to f$ pointwise 及 Egoroff's theorem 及再利用上述 extension 完成證明 (已證明若 $ E\in \mathcal B(X),\mu(E)<\infty$，那麼 $ E$ 是 inner regular)。
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Some problem for entertainment:
Problem. Let $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a differentiable function so that $ \displaystyle\left|f(x)-\sin(x^2)\right|\le\frac{1}{4}$ for any $ x\in\mathbb{R}$. Prove that there exists a sequence of real numbers $ \{x_n\}_{n=1}^\infty$ for which $ \lim_{n\to\infty} f'(x_n)=+\infty$ .
Monday, August 1, 2011
見工失敗
前排去左樂善堂余近卿中學面試去做份做八日就賺到五千嘅暑期班，貌似係為考試唔合格嘅學生而設嘅補底班黎 (亦即係我冇乜機會發揮嘅班)。咁好喇我自己又冇乜點見過工，見步行步。去到自我介紹，我講唔夠一分鐘就收口，深知不妙，最終不獲聘收埸。
我估最大原因係我冇乜教學經驗。原因係，首先我係該校校友推薦；其次係請人果位老師係 UST 師姐；再者，我個樣都算平易近人丫...。但間間學校都係以經驗為優先嘅話咁我邊鬼有經驗喎...。同埋我都唔算冇教學經驗，不過對像係班 UG year 1 ...。
我估最大原因係我冇乜教學經驗。原因係，首先我係該校校友推薦；其次係請人果位老師係 UST 師姐；再者，我個樣都算平易近人丫...。但間間學校都係以經驗為優先嘅話咁我邊鬼有經驗喎...。同埋我都唔算冇教學經驗，不過對像係班 UG year 1 ...。
Friday, July 29, 2011
暑假。學
最近都喺到學 real analysis，學習方法係：睇課文，然後完成果個 section/chapter 最少一半問題。基本上 Royden 第 4 edition 嘅 2, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 18(.1, .2, .3, .4), 19(.1, .2), 20(.1, .2) 課都俾我``做"左。唔急於學新嘅野，只求確定自己已學嘅野唔會學得太表面同有果方面嘅解難能力 (當然會驚唔識做 d 問題...但 no pain, no gain)。本來想開始 chapter 21，但，賣割...！因為佢 study locally compact Hausdorff space，有 d result on normal space 要學返──例如 Urysohn's lamma，偏偏就係嚴民冇教果 d。我其實好想佢唔教第 8 課，即講 surface 果課，而講多 d point-set topology ...。
可能有同學問點解我明明已經讀左 math 204 仲要走去讀返 Lebesgue measure 嘅野呢？其實正正係因為讀 204，我發覺有非常大嘅必要去學返好 Lebesgue measure 知識。嚴民教授嘅 math204 課程範圍大得非常之有問題 (個人角度)，要我地短時間由少少 Lebesgue measure (少少，係少少，所有引理/命題/定理全部都只係關注有界集)，然後證完 Carath$ \text{\'{e}}$odory 就直接跳去 general measure。冇錯我咁樣識左 general measure $ \to$ integration $ \to$ product measure $ \to$ signed measure, Randon-Nykodym，但學得非常之唔實在。單單 Lebesgue measure 仲有好多課題可以講，Borel $ \sigma$-algebra、dense subspace of $ L^p(E)$、Egoroff, Lusin's theorem (我記得變左做 exercise)、approximation of measurable function by simple functions (結合 Lebesgue dominated convergence theorem，解 integration 題目嘅利器)、approximation of measurable set by $ G_\delta,F_\sigma$ (簡單應用：前者可以用返喺 integration；後者可以證 Lipschitz function take measurable set 去 measurable set)，等等。好可惜，我喺 204 冇機會學到呢 d 基本野。
而喺我學緊呢 d 基本野嘅同時，有一班 year 1 想搞 workshop，我就即刻諗：「仲唔上馬？」順便 pre 一 present 我解過嘅題 (大部份 presentation problem 嘅來源都係 royden，仲有好多 exercise 我未放落 presentation 到，有 d 係 LCM notes 標住 ``difficult" 嘅問題，有 d 係胡繼善份 notes 嘅題且有 d 答案用左三頁紙，但我有方法只做一頁多少少)。
Workshop 嘅 notes 唔打算 upload 上黎 wordpress 住……，等到改好哂之後，確定冇乜錯漏先再放上黎。
其實呢個假唔單止睇 Royden，有 d American Mathematical Society 出版嘅書都寫得非常之好，我抽左一兩個 topic 黎睇。例如，一年前學左 Randon-Nikodym theorem，前幾日知道佢嘅應用──證明當 $ 1\leq p<\infty$ 時，對於 $ \sigma$-finite 嘅 measure space $ (X,\mu)$，有 $ (L^p(X,\mu))^*=L^q(X,\mu)$，其中 $ q$ 為 $ p$ 的 conjugate。我打算睇睇同樣嘅 theorem 其他書有冇更好嘅證法。Inder K. Rana 所寫嘅 An Introduction To Measure and Integration 都有同樣嘅證法，不過當 $ p>1$ 時佢做多一小步，將結果即刻推廣到任意 measure space $ (X,\mu)$，兩頁紙內證完。
A simple problem for entertainment.
Problem. Let $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be a continuous function. A point $ x$ is called a shadow point if there exists a point $ y\in \mathbb{R}$ with $y>x$ such that $f(y)>f(x)$. Let $ a<b$ be real numbers and suppose that
Workshop 已暫停兩個星期 (原因係班人要做人口普查)，下個星期五開始照常繼續。黎緊兩個星期，一日講返多 d measure，一日開始講 approximation of measurable function，換句話說，Littlewood's 3 principle (我譯為``小木三律" =w=) 其中兩條 。
可能有同學問點解我明明已經讀左 math 204 仲要走去讀返 Lebesgue measure 嘅野呢？其實正正係因為讀 204，我發覺有非常大嘅必要去學返好 Lebesgue measure 知識。嚴民教授嘅 math204 課程範圍大得非常之有問題 (個人角度)，要我地短時間由少少 Lebesgue measure (少少，係少少，所有引理/命題/定理全部都只係關注有界集)，然後證完 Carath$ \text{\'{e}}$odory 就直接跳去 general measure。冇錯我咁樣識左 general measure $ \to$ integration $ \to$ product measure $ \to$ signed measure, Randon-Nykodym，但學得非常之唔實在。單單 Lebesgue measure 仲有好多課題可以講，Borel $ \sigma$-algebra、dense subspace of $ L^p(E)$、Egoroff, Lusin's theorem (我記得變左做 exercise)、approximation of measurable function by simple functions (結合 Lebesgue dominated convergence theorem，解 integration 題目嘅利器)、approximation of measurable set by $ G_\delta,F_\sigma$ (簡單應用：前者可以用返喺 integration；後者可以證 Lipschitz function take measurable set 去 measurable set)，等等。好可惜，我喺 204 冇機會學到呢 d 基本野。
而喺我學緊呢 d 基本野嘅同時，有一班 year 1 想搞 workshop，我就即刻諗：「仲唔上馬？」順便 pre 一 present 我解過嘅題 (大部份 presentation problem 嘅來源都係 royden，仲有好多 exercise 我未放落 presentation 到，有 d 係 LCM notes 標住 ``difficult" 嘅問題，有 d 係胡繼善份 notes 嘅題且有 d 答案用左三頁紙，但我有方法只做一頁多少少)。
Workshop 嘅 notes 唔打算 upload 上黎 wordpress 住……，等到改好哂之後，確定冇乜錯漏先再放上黎。
其實呢個假唔單止睇 Royden，有 d American Mathematical Society 出版嘅書都寫得非常之好，我抽左一兩個 topic 黎睇。例如，一年前學左 Randon-Nikodym theorem，前幾日知道佢嘅應用──證明當 $ 1\leq p<\infty$ 時，對於 $ \sigma$-finite 嘅 measure space $ (X,\mu)$，有 $ (L^p(X,\mu))^*=L^q(X,\mu)$，其中 $ q$ 為 $ p$ 的 conjugate。我打算睇睇同樣嘅 theorem 其他書有冇更好嘅證法。Inder K. Rana 所寫嘅 An Introduction To Measure and Integration 都有同樣嘅證法，不過當 $ p>1$ 時佢做多一小步，將結果即刻推廣到任意 measure space $ (X,\mu)$，兩頁紙內證完。
A simple problem for entertainment.
Problem. Let $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be a continuous function. A point $ x$ is called a shadow point if there exists a point $ y\in \mathbb{R}$ with $y>x$ such that $f(y)>f(x)$. Let $ a<b$ be real numbers and suppose that
- All the points of the open interval $I=(a,b)$ are shadow points;
- $a$ and $b$ are not shadow points.
- $ f(x)\leq f(b)$ for all $ a<x<b$;
- $ f(a)=f(b)$.
Workshop 已暫停兩個星期 (原因係班人要做人口普查)，下個星期五開始照常繼續。黎緊兩個星期，一日講返多 d measure，一日開始講 approximation of measurable function，換句話說，Littlewood's 3 principle (我譯為``小木三律" =w=) 其中兩條 。
Saturday, July 2, 2011
暑假很忙，精力都被抽到 UROP 及 Analysis Workshop 裏。
對我來說現在的日子大可分為科大 libra 開/閉 的日子。既然今天沒開放，那我就沒回科大的意欲，今天例外到其他地方吃午飯。我去…吃個飯要 30 多元，我在科大加杯凍飲只需 21 元呀…… 。
不得不說我的自控能力有問題，在家裏對着電腦說怎樣也不能安心看書……，趁機把 workshop notes 打好吧。以下是 workshop 的 syllabus：
http://ihome.ust.hk/~cclee/document/workshop.pdf
及每星期都要做的 presentation!
http://ihome.ust.hk/~cclee/document/WorkshopPresentation.pdf
感謝 Kin Li 幫忙 book 課室及贈送大量白板筆！人數還維持在 4 名 year 1，及我，8 seats 的 libra 課室明顯很勉強 (間中總會有一些 year 1/year 2 間歇性插入...)。
**********
回想起一年前某 TA 開了 topology workshop，我上了第一天便沒再去了……(實在太悶，那 TA 想有互動，但那種互動只是簡單的答幾道問題。所以我開 workshop 要求參加者答不太 obvious 的題，有一至兩星期準備，這樣才有趣)，當時包括我在內有 4 位準 year 2，有趣的是只有我其後 reg topology 這個 UG course … ，我想這 TA 心已碎吧。
對我來說現在的日子大可分為科大 libra 開/閉 的日子。既然今天沒開放，那我就沒回科大的意欲，今天例外到其他地方吃午飯。我去…吃個飯要 30 多元，我在科大加杯凍飲只需 21 元呀…… 。
不得不說我的自控能力有問題，在家裏對着電腦說怎樣也不能安心看書……，趁機把 workshop notes 打好吧。以下是 workshop 的 syllabus：
http://ihome.ust.hk/~cclee/document/workshop.pdf
及每星期都要做的 presentation!
http://ihome.ust.hk/~cclee/document/WorkshopPresentation.pdf
感謝 Kin Li 幫忙 book 課室及贈送大量白板筆！人數還維持在 4 名 year 1，及我，8 seats 的 libra 課室明顯很勉強 (間中總會有一些 year 1/year 2 間歇性插入...)。
**********
回想起一年前某 TA 開了 topology workshop，我上了第一天便沒再去了……(實在太悶，那 TA 想有互動，但那種互動只是簡單的答幾道問題。所以我開 workshop 要求參加者答不太 obvious 的題，有一至兩星期準備，這樣才有趣)，當時包括我在內有 4 位準 year 2，有趣的是只有我其後 reg topology 這個 UG course … ，我想這 TA 心已碎吧。
Saturday, June 11, 2011
Grade 已出
Lang 外的另外 5 科的 grade 已出。今個 sem 平平安安的度過，只是 COMP 170 拿了一隻 B+。 本 sem 的 courses：MATH303, 304, 323, 371, COMP170, LANG209。 評論的話：
303, 304：淺，courses for everyone，303 workload 重，304 幾乎沒 workload，兩者也是 hea 人必選 (反正功課臨急臨忙總會有人想到方法抄的)。
323：大家都知道嚴民是很好很好的 lecturer！聽他對課文的解說時總覺得明了九至十成，但課後複習 (或做功課) 時感覺上堂沒學到甚麼……(203, 204 已有此感覺)。workload 重，但很充實。
371：只能說幸好有同時讀 323 (不然 locally convex space、weak topology, its local base、weak-continuity 之類的 concept 很難理解)。內容很 abstract，theorem 要背熟，不然根本用不出來...。整個學期功課只有 3 份 (是令我很痛苦的三份功課)，功課以外的問題有 full solution。mid-term 最後的題沒甚麼人做到。Final 是 take home 的，所以壓力不太大。尤其是整個 course 人數只有 10 人，3 名 local (包括我)，餘下的不是 PG 就是 mainland，很叫人興奮。
303, 304：淺，courses for everyone，303 workload 重，304 幾乎沒 workload，兩者也是 hea 人必選 (反正功課臨急臨忙總會有人想到方法抄的)。
323：大家都知道嚴民是很好很好的 lecturer！聽他對課文的解說時總覺得明了九至十成，但課後複習 (或做功課) 時感覺上堂沒學到甚麼……(203, 204 已有此感覺)。workload 重，但很充實。
371：只能說幸好有同時讀 323 (不然 locally convex space、weak topology, its local base、weak-continuity 之類的 concept 很難理解)。內容很 abstract，theorem 要背熟，不然根本用不出來...。整個學期功課只有 3 份 (是令我很痛苦的三份功課)，功課以外的問題有 full solution。mid-term 最後的題沒甚麼人做到。Final 是 take home 的，所以壓力不太大。尤其是整個 course 人數只有 10 人，3 名 local (包括我)，餘下的不是 PG 就是 mainland，很叫人興奮。
Friday, June 10, 2011
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