關於 tangent vector

現在因 research (老細是做 numerical PDE的，我為其中某些 theory 工作，numerical 的工具從其他 mphil/phd 學生學習) 的原因開始學習 Riemannian geometry。幸運地原來網上 Riemannian geometry 的 lecture notes 有很詳細地講解如 tangent space，tangent bundle 等基礎 differential geometry concept。我的目標是在 $\R^n$ 上的 submanifold 工作，我要摸清所有 concept 然後返回 $\R^n$ 上。從火星 (很 general 的 definition) 回到地球要花一點心力。

這次談談 tangent vector。

學習 manifold 接觸 tangent space $T_pM$ 時最常亦最令人困惑就是 tangent vector 是 derivation, 它是滿足某些條件的 linear functional on

$\varepsilon(p)=\{$ $f$ defined near $p\in M$ : $\R$-valued $f$ differentiable at $p$ $\}$. 

這試圖把 $\R^n$ 的 concept 延伸至任意 manifold. 對於 $v\in T_pM$, 能找到 $\gamma:I\to M$ 使到 $\gamma'(0)=v$, 它以以下的方式作用到 $\varepsilon(p)$ 上:  設 $f\in \varepsilon(p)$, 那麼 \[
\gamma'(0)(f)=\frac{d}{dt} (f\circ \gamma)(t)\bigg|_{t=0}.
\] 這裏 $\gamma'(0)$ 又常記為 $\frac{d}{dt}|_{t=0}\gamma(t)$, 而這種 notation 又會和 classical 意義的的 $\frac{d}{dt}$ 混合一起使用. 例如找某些簡單 manifold 如 $SL_n(\R)$ 等的 tangent vector 時我們又以 $\frac{d}{dt}|_{t=0}$ 以很直觀和直接的方式 entrywise 地作用到 $\exp(t X)$ ($\tr X=0$) 然後說 $X\in T_P SL_n(\R)$.

剛剛才 "千辛萬苦" 知道了 tangent vector 那新的定義, 很自然會問 "這就算是 tangent vector 了嗎?" 我以前肯定自己的答案是把他看成 $\R^{n^2}$ 而不是 $\R^{n\times n}$, 那樣看似是我們熟知的 concept.

但這種 tangent vector 的理解和 "deviation" 毫無關聯. 由定義, 對於任意 $v\in \R^n$, tangent vector $v$ 應被看成 deviation, 因此它是 $v=\partial_v$. 那為甚麼 entrywise 所得到的 vector $\frac{d}{dt}\gamma(t)|_{t=0}\gamma(t)$ (這裏 $\gamma(t)\in \R^{n\times n}$) 也能算是 derivation? 它怎樣被看成是 derivation?

想到這裏, 我試圖由定義着手. 我們由簡單開始, 考慮 $\R^{m\times n}$ 這種 manifold. 設 $A\in \R^{m\times n}$, 究竟怎樣將它看成是 tangent vector? 設 $f:\R^{m\times n}\to \R$ 在某點 $P$ differentiable, 那麼由 abstract 定義, 設 $\gamma(t):I\to \R^{m\times n}$ 且 $\gamma'(0)$"$=$"$A$ 及 $\gamma(0)=P$, 應有\[
\gamma'(0)f=\frac{d}{dt} (f\circ \gamma(t))\bigg|_{t=0} = \sum_{i,j}\frac{\partial f}{\partial x_{ij}} (P) \cdot \gamma_{ij}(0).
\] 因此, 對應 $\R^n$ 的情況, 我們應定義對 $A=[a_{ij}]\in T_P \R^{m\times n}\cong \R^{m\times n}$: \[
[a_{ij}]\cdot f = \partial_{[a_{ij}]} f := \sum_{i,j}\frac{\partial f}{\partial x_{ij}}(0) \cdot a_{ij}
\] 就會有 \[
\gamma'(0)f = \partial_{\dot{\gamma}(0)} f.
\] 這裏 $\dot{\gamma}(0)$ 是正正常常及傳統的, entrywise 作微分 $\frac{d}{dt}$的 產物. 因此, 如果把 $\dot{\gamma}(0)$ 和以上定義的 $\partial_{\dot{\gamma}(0)}$ identify. 那麼 $\dot{\gamma}(0)$ 在 abstract 義意下真的變成 tangent vector 了.

現在我們可以放心續個 entry differentiate, 取 $t=0$, 然後說它是 tangent vector (deviation) 了.

我發現以下 formula 蠻方便的：\[
\brac{\frac{\partial }{\partial x_k}}_p =\frac{d}{dt} x^{-1} (x(p)+te_k)\bigg|_{t=0},
\] 其中 $x:U\subseteq M\to \R^n$ 為 chart. (很直觀吧！)