一些降臨、250 天

這幾天當有多餘體力便打 50 體的降臨關消體。

1. 狂皇子：

其實一入埸便可以火龍女 --> 服步 --> 點燈，但謹慎起見還是開白虎技把王的血壓低一點。事後，經實驗後發現原來暗大火花 + 點燈後，除了自已的潘外，在 1 combo 下所有暗屬攻擊單隻破 100 萬 ... (U´Д`)。

2. 水宙

這一關打了 3 次所通過（看村井的光埃神運通關有點無言 ....）。尾 2 關的連續爆發比較好運，尾 2 因光珠和心珠較多，開冥后技再點燈秒過。而最後一關暗珠能組到 2 排，而且天降多 1 combo，總計 6 combo，讓火龍女技發動，多 1.2 倍加成。

3. 250 天，現在 409 rank 了... （5 石 get！）。

Record a problem

Let $H$ be a Hilbert space. It is well-known that if $Z$ is a convex and closed subset of $H$, then for every $x\in H$, there is a unique element $z\in Z$ such that $$\|x-z\|=d(x,Z).$$ Let's denote this unique element $z$ by $P_Zx$.

Problem. Let $Z_1\supseteq Z_2\supseteq Z_3\supseteq \cdots$ be a chain of closed convex subsets of a Hilbert space $H$, show that:
(a) If $\capp_{n=1}^\infty Z_n \neq\emptyset$, then $\|x-P_{Z_n}x\|\to \|x-P_Zx\|$.
(b) If $\capp_{n=1}^\infty Z_n=\emptyset$, then $\|x-P_{Z_n}x\|\to \infty$.

Since $Z_n$'s are not subspace of $H$, $P_{Z_n}$ itself is not a linear map, and therefore standard tools from functional analysis cannot be used. Nevertheless, by assuming $Z_n$'s are further a closed subspace, it is instructive to see a weak-convergence argument to conclude the result in (a) --- a slightly complicated solution.

Some also asked me can $\capp_{n=1}^\infty Z_n=\emptyset$ happen? Below is an example to show there is a chain of closed convex subsets with empty intersection:

Example. Let $Z_n=\{(1,\frac{1}{\sqrt{2}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}},a_1,a_2,\dots):(a_1,a_2,\dots)\in \ell^2\}$, then $Z_n$ is convex, a closed subset of $\ell^2$, and descending in $n$. However, if there is $(x_1,x_2,\dots)\in \capp_{n=1}^\infty Z_n$, then necessarily $x_n=1/\sqrt{n}$ for every $n$, and this element is not in $\ell^2$, a contradiction. So $\capp_{n=1}^\infty Z_n=\emptyset$.
　　Next what is $d(x,Z_n)$ in this particular example? By definition for $z\in Z_n$ we have $$\|x-z\|^2 = \sum_{k=1}^n\left|x_k-\frac{1}{\sqrt{k}}\right|^2+\sum_{k>n} |x_k-z_k|^2,$$ hence for fixed $x\in \ell^2$ the smallest possible $\|x-z\|$ is $$d(x,Z_n)=\sqrt{\sum_{k=1}^n \left|x_k-\frac{1}{\sqrt{k}}\right|^2},$$ of course this diverges to infinity as $n\to\infty$ for any fixed $x\in \ell^2$. What's more, $$P_{Z_n}x =\textstyle (1,\frac{1}{\sqrt{2}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}, x_{n+1},x_{n+2},\dots).\qed$$

Basis of $\R^\infty=\R^\N$ must be uncountable

Recall that a subset $M$ of a vector space $X$ is a basis if and only if every element in $X$ can be written as a linear combinations of finitely many elements in $M$.

The title of this post has a simple proof: $\{a_\alpha\in \R^\infty\}_{\alpha>0}$, where $a_\alpha = (1^\alpha,2^\alpha,3^\alpha,\dots)$, is an uncountable linearly independent subset, so every basis has to be uncountable.

I just want to point out knowledge in functional analysis quickly gives an intuitive answer.

Suppose $\R^\infty$ has $M$ as a countable basis, then consider its vector subspace $$\ell^\infty:=\{(x_1,x_2,\dots)\in \R^\infty: \{x_n\} \text{ bounded}\},$$ a standard prototype on which we do functional analysis, must also have a countable basis. However, if we equip $\ell^\infty$ with a norm $\|(x_n)\|=\sup_{n \ge 1}|x_n|$, then $\ell^\infty$ becomes a Banach space with countable basis.

This is a contradiction to the standard fact in functional analysis that every basis of an infinite dimensional Banach space must be uncountable, so every basis of $\R^\infty$ must be uncountable!

升級至 OS X Yosemite

甘心做隻白老鼠，心癢難耐下花了一個晚上下載裝上這次更新。

很漂亮吧？但背後可費了很大功夫！（時間多用在搜尋方法解決問題）

問題 1. 首先 dock bar (最底那列 icon) 預設是很醜很難看的模疑玻璃（在網上所見，劣評較多）。現有的解決方法是使用 cDock，我用的是這個 app 的 base option。

$\qed$

問題 2. 另一個問題是預設的系統字體是 apple 的 Helvetica Neue，如下圖（順便看看那 dock bar 多醜 ...）：　

那是非常近似於 Windows 裏的 Arial。這設計反對的聲音不少，因一直以來的 mac 用家也不是用這一種字體。以我來說是非常的反感，因字體的感覺明顯地是舊版的看上去較舒服。試想想你看一篇滿是 Arial 字體的論文，這感覺是絕對不好受吧？

回至 Lucida Grande（即 mac OS 一直沿用那種，直至 OS 10.9 為止）只需用  本連結  裏某人寫的 app 即可。$\qed$

這樣大至上美觀上的問題都解決了。折騰了一日現在用 Yosemite 蠻輕鬆快活。

順帶一提，使用 nosleep 這個 apps 可快捷地令電腦失眠，甚至是把蓋合上也不能使這台 macbook 進入 sleep 的狀態（我在晚上睡覺前就是靠這個 app 令電腦保持清醒來下載 5 GB 的 OS 更新），到不需要時在 manu bar 按 icon 一下，回復可睡眠狀態。

A Problem

Problem. Suppose that (i) $\{x_n\}$ is bounded and (ii) $\limn (x_{n+k}-x_n)=0$ for every $k\in \N$. Is $\{x_n\}$ convergent?

Solution.

A Math5011 Exercise

In a discussion with some students in this course I find that I have another solution different from the official one.

Problem. Let $\mathcal N$ denote the Vitali set in $[0,1]$, show that $m^*([0,1]\setminus \mathcal N)=1$.

Remark. Here $\mathcal N$ is a set of those representatives of classes in $[0,1]/\!\!\sim$, where $\sim$ is an equivalence relation on $[0,1]$ given by $x\sim y\iff x-y\in \Q$, and we have $[x]=(x+\Q)\cap [0,1]$. Of course we know that $\mathcal N$ being a nonmeasurable set must satisfy $m^*(\mathcal N)>0$.

新的神面之間隊伍

話說最近一次的自選 3up 手痕抽了一單...，有幸抽到新的寵---次元魔術師。所以便組成了以下的快刷隊........ （穩得不能再穩 ... orz）

Record a problem

In PG office PhD students are preparing their "Qualifying Exam" in Advanced Calculus, one of them discusses with me the following interesting question:

Problem. Find a sequence $\{x_n\}$ of real numbers such that $\dis \limn x_n=1$ and $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{x_n}}<\infty.$$ Solution.

其實大小喬蠻厲害的 ...

心轉光的寵很少，而在大小喬隊能同時擔任 "草屬攻擊" 這角色看似只有白盾，被轉珠技蒙閉相眼的我忘記了其實可用雅典娜代替 ....

放棄 5 cd 轉珠寵，以上這隊只要 4 顆光屬珠再發動 16 倍技能雅典娜能簡單打出 20 萬的傷害  （光拉打也有雙 2 way，但沒多留意他打出的傷害）。現在回想這隊蠻厲害的 ...， 4 隻轉珠寵，1 增傷，1 點燈。也可使用木諸代替神爸，主要增加攻擊 type 的攻擊力 （我的所有轉珠技都不會把木珠轉走）。

這隊比光埃隊優秀的地方是 極穩定 及 不難做出大爆發，只要 火 水 木 三色各有 3 顆，就可以阿波羅（火 水 木 光）或 光拉打 + 大小喬（水 木 光 心）作光 double 攻勢。大小喬的主動技更是可攻可守（本身整隊也不低回！）。

唯一遺憾是光和神覺醒太差 ...。

新玩具，apple 服務超好！

增加桌子可用空間（例如 keyboard 呀甚麼的要工作時可放到 macbook 下）：

價錢是 $378。買這件 mac 玩意有一段不必要的辛酸史。

話說買這個 stand 的決定是心血來潮的，然後直接在 apple store 網上訂購，免費 shipment。我在本周 3 訂購，貨物預期在下周 1 送到。誰知因為貨品太快送到 DHL 某分站因此他們在本周 4 晚上 6:00 pm 以 SMS 形式通知我在當天晚上會把貨物送到。但整個晚上沒有人在家，所以 DHL 公司留下 calling card 要我自已跟進。

在感到厭煩之際我在想，能否 cancel order 再到 apple store 走一轉。但 apple 那 view order 的網頁已沒有 cancel order 這選項。在亂按下我按了 return and refund。我細看這選項的內容時還以為要先收到貨品，再親自走到 apple store 退還。所以致電 DHL 詢問我的貨件進程。但他們說找不到我的貨件呀甚麼的，先讓他們跟進情況，要我等他們的電話。半小時後得到回覆。

原來 apple 有另一個貼心的服務，就是儘管趕不及 cancel order，只要貨沒到你手，送貨公司可直接幫你還貨給 apple！當然，refund 一定比原價低，我這購物的衝動令我損失了 $50。

這段麻煩史是不必要的。今天，即星期五，我約了同學在又一城集合（他在中大讀 PhD，到城大上 functional analysis），準備前往金鐘靜坐撐學聯。沿經往城大的那一段路才發現又一城也有一間很大的 apple store ........ ，那裏面有這個 stand 了.....，然後開開心心的把這個 stand 買走 ........。

ITunes 和 Low Battery Saver

1. Itunes 的 prodcast 非常方便！港台節目都不用到 Mytv 看了。

看過的節目會在 24 小時後自動 delete。如有新一輯節目會自動下載。

2. 用 macbook 的人通常對電池的使用十分執着，因為這台機械小說都得花上萬多元⋯⋯。要經常充滿 + 放電才能維持電池的健康（沒有深究背後 theory）。但正常使用不會經常觀察電池量，有一次電量降到 5% 才驚覺要充電！（維持低電壓對電池有負面應響（？））
　　在網上找到數款監察電池量的 apps。其中個人覺得 Low Battery Saver 較好：

我的設定是當電池只可多大約多運行 45 分鐘時 (約總電量的 18% ) 便會發出如上面的驚告。

mac 外接另一個螢幕 (clamshell mode)

很簡單地用 "雙公" 的 HDMI 插頭把 macbook 和螢幕連接，然後蓋上 macbook 便能把較大的 mon 作為主 mon。在家裏這種用法還是比較舒服。

唯一要抱怨的是在我大 mon 中 macbook 的字體會有一點模糊。但這對觀看影片和正常的文書處理沒有多大影響。開始後悔最近因火牛壞掉重新組裝了 3000 多元的 desktop ... (有 macbook 根本就不需要 desktop 嘛！)

後記：clamshell mode 不方便的地方是必須插上 charger，用 mirroring 模式再把 macbook 的 brightness 掉到 0 會是一個較好的 solution （為了電池的健康）。

mac 的 previewer 原來可輕鬆剪及合併 pdf

經常有 pdf 因為 margin 太大使到 2 page to 1 page 這種打印方法印出極細小的字。在 windows 我們有 pdf scissor，但 mac 就 "沒有" 那麼方便了。但其實是有的！

佔中 --- 旺角據點

現埸很亂，我 8 時多到達的時候藍屍多已被收拾，旺角陣地已取回。逗留 3 小時候離開。

(無線) 電視台團隊為拍攝爬到地鐵站頂 ...

Lecture Notes on Numerical Analysis (Theoretical Aspect)

15th Internet Seminar 2011/12

Operator Semigroups for Numerical Analysis

神面之間

終於神面之間地獄級的地下城都用潘隊穩刷了...... (要抱 297 大腿!)。

影片是從 mobizen.com ---> macbook pro retina ---> quicktime player screen capture 拍出來。不知為何影片質素比 windows 的 chrome 差很多 ...。

今天在 pg office 學生協助 (?) 下 (幫我吃升技寵而已 ...)，這些都升滿了：