心情好差

MATH102 大炒，唔好問我咩分喇...。
只可以說一句，「A 的炒不了，炒的 A 不了。」唉!

從前提及過 $\prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$ 這樣的一條等式。
最近看到一個例子，取某些特定的整數 $k$，再建立一個新的乘積，便能夠建立一條美麗而簡單的等式。設 $n$ 為大於 1 的奇數，$\varphi(n)$ 為 Euler-$\varphi$ 函數，即 $\varphi(n) =$ 小於 $n$ 及與其互質的正整數的個數。設 $a_1,a_2,\dots,a_{\varphi(n)}$ 為與 $n$ 互質的正整數，那麼它們成為了模 $n$ 的一個簡系 (reduced residue system)，又因為 $(2,n)=1$，從而 $2a_1,2a_2,\dots,2a_{\varphi(n)}$ 也是一個模 $n$ 的簡系，因此我們有 $$\left|\prod_{k=1}^{\varphi(n)}\cos \frac{a_k\pi}{n}\right|=\frac{1}{2^{\varphi(n)}}.$$
取 $n$ 為質數 $p$，則有 $$\left|\prod_{k=1}^{p-1}\cos \frac{k\pi}{p}\right|=\frac{1}{2^{p-1}}，$$ 初等的東西果然很容易讓人``萌" 起來！繼代數不等式後，偶被初等數論萌倒了。
再在本文最開頭所說的等式中取 $n = p$(質數)，兩式相乘，得到 $$\left|\prod_{k=1}^{p-1}\sin \frac{2k\pi}{p}\right|=\frac{p}{2^{p-1}}=\prod_{k=1}^{p-1}\sin \frac{k\pi}{p},$$ 看到這等式後，很自然會問：「這是``偶然"嗎？」

最近有同學問我，設 $a,b$ 為正整數，證明：若 $4ab-1|(4a^2-1)^2$，則 $a=b$。
唔知點解果時``發左癲"，觀測唔到某 d 明顯到冇得再明顯 ge 野，搞到唔識做。
訓訓下覺呢個問題又彈返出黎，搞到訓唔着，順手寫寫下，``下?!"。