一位內地高考生的網友給我的一條問題。(答案還沒派發的家課)

Problem. Let $  a,b,c > 0$,  $  \displaystyle \left(\frac{1}{a^2} +1\right)\left(\frac{1}{b^2} +1\right)\left(\frac{1}{c^2} + 1\right) = 512$ and $  k = a+b+c$, find the minimum value of $  k$.

AL 的朋友可嘗試解答 (也就是說 AL 知識已經足夠)。

感謝 YCK 提出了一個新的解法。

不等式小記

Problem (Austrian Mathematical Olympiad 2008). Prove that the inequality $ \displaystyle \sqrt{a^{1-a}b^{1-b}c^{1-c}}\leq \frac{1}{3}$ holds for all positive real numbers $  a,b,c$ with $  a+b+c=1$.

Those who always discuss math with me will know how to solve it, that's not hard. Now it can be easily generalized to \[ \sqrt{a_1^{1-a_1}a_2^{1-a_2}\cdots a_n^{1-a_n}}\leq \frac{1}{n^{(n-1)/2}}\] with $  a_1+a_2+\cdots +a_n=1$. From this we get for any $  a_i>0$,\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge \left(\frac{a_1a_2\cdots a_n}{(a_1^{a_1}a_2^{a_2}\cdots a_n^{a_n})^{1/\sum_{i=1}^na_i}}\right)^{1/(n-1)}.\]
We have established an extremely ugly lower bound. This inequality is useful if we are given a condition on $  \prod a_i^{a_i}$, for example from now on I can show that if \[\boxed{x^xy^yz^z=1, x,y,z>0},\] then \[ \sum_{cyc}\sqrt{\frac{x}{yz}}\ge 3.\]
Take $n =2$, set $  (a_1,a_2)=(x,y)$. The inequality reduces to \[\tfrac{1}{2}(x+y)\ge (x^yy^x)^{1/(x+y)}\iff \left(\tfrac{1}{2}(x+y)\right)^{x+y}\ge x^yy^x
\] (at least I think this inequality is somehow useful), by a little bit argument the following holds for all positive $ x,y$, \[
\sqrt[m]{\frac{x^m+y^m}{2}}\mathop{\ge}\limits_{m\ge n}\sqrt[n]{\frac{x^n+y^n}{2}}\mathop{\ge}\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\ge \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\ge (x^yy^x)^{1/(x+y)}.\]

網友 (未來 ust phy 人?) 的朋友問了一條中(山)大(學)的入學試試題。

Problem 1. Let $  \displaystyle f(x)=\left|1-\frac{1}{x}\right|, x>0$, if $  0<a<b$ and $  f(a)=f(b)$, then prove that we must have $  ab>1$.

不難的，因最近都沒甚麼墨水...，放條問題吧。

學期尾

前日係最後一日上課日。諗返起呢個 sem 真係好充實。

話說因為 math190，mathdb 呢個網陪左我半年。
但 mathdb 只有給中學生玩的奧數 material 嗎?

錯了！

大家記住 year 2 take math 301 時黎呢到再睇睇：
http://www.mathdb.org/notes_download/analysis_ad.htm

讓自己在學校看的

http://civilliberty.about.com/od/abortion/f/abortion_legal.htmhttp://civilliberty.about.com/od/abortion/p/fetus_rights.htm

最近迷上這套漫畫：
http://acg.178.com/mh/b/bhgxbohe.shtml
http://acg.178.com/mh/l/liferenshen.shtml

真係咩口味都有 -_-：
http://acg.178.com/dh/s/weiniang.html

正體的積分號

在網上找到一個 package，它能夠把原本的 integral 換成直立的────國內出版的數學書籍常用的一種。

詳細安裝可在網上找到，package 為 mathabx。

它所修改的符號不是十全十美的，我們需要自己另外再作定義，我的是如此：

\usepackage{mathabx}
\DeclareMathSymbol{\sum}{\mathop}{largesymbols}{"50}
\DeclareMathSymbol{\supseteq}{\mathrel}{symbols}{"13}
\DeclareMathSymbol{\subseteq}{\mathrel}{symbols}{"12}
\DeclareMathSymbol{\subset}{\mathrel}{symbols}{"1A}
\DeclareMathSymbol{\supset}{\mathrel}{symbols}{"1B}
\DeclareMathSymbol{\cap}{\mathbin}{symbols}{"5C}
\DeclareMathSymbol{\cup}{\mathbin}{symbols}{"5B}
\DeclareMathSymbol{\complement} {\mathord}{AMSa}{"7B}
\DeclareMathDelimiter{\langle}{\mathopen}{symbols}{"68}{largesymbols}{"0A}
\DeclareMathDelimiter{\rangle}{\mathclose}{symbols}{"69}{largesymbols}{"0B}
\DeclareMathSymbol{\infty}{\mathord}{symbols}{"31}

\makeatletter
\DeclareRobustCommand\sqrt{\@ifnextchar[\@sqrt\sqrtsign}
\def\@sqrt[#1]{\root #1\of}
\makeatother

 

另一種方法，直接在 preamble 內加上

% upright integrals

%% \int will be upright (display mode)
%% \smallint will be upright (text mode)

%% \oldint will be slanted (display/text mode)
%% (\oldsmallint available, but not necessary)

\let\oldintop\intop
\def\oldint{\oldintop\nolimits}

\let\oldsmallint\smallint

\DeclareSymbolFont{EUEX}{U}{euex}{m}{n}

\DeclareSymbolFont{euexlargesymbols}{U}{euex}{m}{n}
\DeclareMathSymbol{\intop}{\mathop}{euexlargesymbols}{"52}
\def\int{\intop\nolimits}

\DeclareSymbolFont{euexsymbols} {U}{euex}{m}{n}
\DeclareMathSymbol{\smallint}{\mathop}{euexsymbols}{"52}

即能得到垂直的積分號。

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好一段時間沒有用 $latex \LaTeX$ 打 project (語文功課)，原來我總是忘記在 \setmainfont 後加上 [Mapping=tex-text]，在 xeCJK package 下 \setCJKmainfont 同樣可使用這個 option。

終於唔駛補習 (住)

次次備課真係攰死人，所謂備課其實係準備 material。
有冇住 hall ge 人想接我呢單補習？非常之近科大，中文好更佳 (家長要求)。

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最近功課真係忙死，MATH 190 做一次功課好似玩一次比賽咁...。

自大得濟上 kin li 190 lecture 從來都唔會帶 notes，唔會記低重點。
每次 quiz、功課殺到黎都唔駛點睇，諗下諗下就有野出。
今次功課殺到上黎先意識到──``敝"！
未落手落腳用過 complex number 同 vector 去解決 geometry ge problem，
望住條問題真係會呆左，搞到呢幾日都博哂老命係咁溫 geometry，
可能我唔想o係呢科到臨尾香之故。

係唔係我錯覺呢？ geometry 呢課好似特別長。

為左科 geometry 搞到我呢幾日都冇時間溫 measure theory，
好彩第 9 份功課係星期 4 先交，不過星期 2 又有好多新野教 ...。

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題外話，唔係好鍾意而家 mathlinks 個介面...。

不等不等不等式, math190 quiz, math202 (extra), math370

Problem. Let $  a,b,c > 0$ be such that $  \displaystyle a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac{3}{2}$, prove the following:

• $\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-1\right)\ge \frac{a^3c}{b}+\frac{b^3a}{c}+\frac{c^3b}{a}$.
• $ \displaystyle\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{12}{(ab+bc+ca)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)-1}$.

Math190: 20/20
Math202 (extra): 5.5/5.5
(醜不外傳，外傳不醜)

攞返 math190 份卷果陣我見到一個得意現像，李教授改卷改到進入左另一個竟界，幫同學搵卷唔係用名，而係用分！

我地終於開始 measure theory，見到嚴民教授份 lecture notes 汗都滴多幾滴‥‥‥。
急急腳去印返李教授 math301 裏面關於 Lxxxx measure 及 integration 的 notes，``user friendly" 得多。
本來以為 kin li notes 會由 25 版一直去到尾都係 Lxxxx 野 (師兄講過重點 focus o係佢到= =)。
最後印多左好多唔相關 ge 野 (implicit, inverse function theorem, etc...)，不過錯有錯着，
到就黎考試之前可以當 review，話哂 ``user friendly" 好多。

提一提大家，math 370 有得 reg 喇！

math190 quiz

quiz 已過，是時候收拾心情準備其他科。
原諒我記憶力有限，以下題目大體題意和原問題相同。

Problem 1. Show that there exist 2010 consecutive positive integers which are divisible by a sq number (not necessaily the same), where sq number is of the form $  m^2$, with $  m$ being an integer.

Problem 2. Let $  x,y\in\mathbb{N}$, find all the ordered pair(s) $  (x,y)$ satisfying
$  y^2-(x+1)2^x=1$

with proof. (Hint given: There is only one solution)