Thursday, July 29, 2010
Tuesday, July 27, 2010
撞，撞，撞！
小喇叭 MATH306 撞哂 PHYS121, 111，無奈之下只好揀 MATH321，將會有兩日對住同一個 professor 連續 3 個鐘- -。
我 d linear algebra 真係好唔掂 (難怪我 B- = =)，證下面條 inequality 證左好耐 (仲要搵人幫拖)。($ \mathcal L(X,Y)$ denotes a collection of linear maps from $ X$ to $ Y$.)
Problem 1. Let $ U$ and $ V$ be finite dimensional vector spaces, $ S\in \mathcal L(V,W)$, $ T\in \mathcal L(U,V)$, prove that \[\dim \text{Nul}(ST)\leq \dim \text{Nul}(S)+\dim \text{Nul}(T).\]
遲啲自己啲 fact prove 得夠多嘅話試下順便整埋 collection，而家煩惱在 d 書冇答案。
一條 analysis problem，可視為 202 練習：
Problem 2. Let $ f$ be continuous on $ [0,\pi]$, $ n\in \mathbb{N}$. Prove that \[\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\pi}f(x)|\sin{nx}|\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx.\]
冇記錯其實有 $ {\displaystyle \lim_{n\to\infty}} \int_0^\pi f(x)g(nx)\,dx$ 之類嘅一般結果，但詳細唔記得左。
我 d linear algebra 真係好唔掂 (難怪我 B- = =)，證下面條 inequality 證左好耐 (仲要搵人幫拖)。($ \mathcal L(X,Y)$ denotes a collection of linear maps from $ X$ to $ Y$.)
Problem 1. Let $ U$ and $ V$ be finite dimensional vector spaces, $ S\in \mathcal L(V,W)$, $ T\in \mathcal L(U,V)$, prove that \[\dim \text{Nul}(ST)\leq \dim \text{Nul}(S)+\dim \text{Nul}(T).\]
遲啲自己啲 fact prove 得夠多嘅話試下順便整埋 collection，而家煩惱在 d 書冇答案。
一條 analysis problem，可視為 202 練習：
Problem 2. Let $ f$ be continuous on $ [0,\pi]$, $ n\in \mathbb{N}$. Prove that \[\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\pi}f(x)|\sin{nx}|\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx.\]
冇記錯其實有 $ {\displaystyle \lim_{n\to\infty}} \int_0^\pi f(x)g(nx)\,dx$ 之類嘅一般結果，但詳細唔記得左。
Wednesday, July 21, 2010
New question(s)
I am waiting for the response to my proof to this problem. (actually waiting kunny...)
Problems 1. Let $ c$ be a real constant such that $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=c$. Find $ f(x)$ which satisfies $ f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ for all real numbers $ x,y$.
I can't solve the following but already get a solution from Dr. Kin Li.
Problem 2. Let $ f$ be holomorphic on $ \{z:|z|<1\}$ such that $ |z|+|f(z)|\leq 1$, show that $ f\equiv 0$.
我永遠都只係識喺一點附近整個圓俾佢=.=，以後都係睇 integrand 做人。
Problems 1. Let $ c$ be a real constant such that $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=c$. Find $ f(x)$ which satisfies $ f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ for all real numbers $ x,y$.
I can't solve the following but already get a solution from Dr. Kin Li.
Problem 2. Let $ f$ be holomorphic on $ \{z:|z|<1\}$ such that $ |z|+|f(z)|\leq 1$, show that $ f\equiv 0$.
我永遠都只係識喺一點附近整個圓俾佢=.=，以後都係睇 integrand 做人。
Tuesday, July 20, 2010
原來有得睇 reg 得咩 course 喇
黎緊我會讀 MATH305、311、315、PHYS111(or 121), LANG2xx。可悲嘅係今個 sem 冇 combinatorial analysis，咁我仲有咩可以揀??
既然之前講過想讀返好 d PHYS，但無奈 UST 要 reg mechanics 同 EM 的話關卡重重，唯有揀返自己 MATH department 裏面疑似 PHYS 的物體。所以我決定行偽 Applied maths 路線，reg MATH306，再喺來年 take MATH308。咁岩又可以同自己識的 PHYS 巴打上堂了。
不過我 reg PHYS221、223、224 嘅夢想係唔會變的，
黎緊我會爭取 reg 入 PHYS121。
Minimum credit this sem: $4\times 5 + 1=21$，暫時 GEE 仲差一科 engine，一科 business 及一科 HUMA/SOSC。
**********
最近先知「嘅」嘅倉頡碼係 口竹心山，再睇返打出黎個字會併到出黎，但... 嘅呢個字唔係口字邊個「既」咩？點解會變到咁嘅樣=.=。
既然之前講過想讀返好 d PHYS，但無奈 UST 要 reg mechanics 同 EM 的話關卡重重，唯有揀返自己 MATH department 裏面疑似 PHYS 的物體。所以我決定行偽 Applied maths 路線，reg MATH306，再喺來年 take MATH308。咁岩又可以同自己識的 PHYS 巴打上堂了。
不過我 reg PHYS221、223、224 嘅夢想係唔會變的，
黎緊我會爭取 reg 入 PHYS121。
Minimum credit this sem: $4\times 5 + 1=21$，暫時 GEE 仲差一科 engine，一科 business 及一科 HUMA/SOSC。
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最近先知「嘅」嘅倉頡碼係 口竹心山，再睇返打出黎個字會併到出黎，但... 嘅呢個字唔係口字邊個「既」咩？點解會變到咁嘅樣=.=。
Friday, July 16, 2010
MI
最近有朋友幫佢朋友個朋友補習，學生係岩岩考完 ce，補習內容係預習 AL pure。(有冇搞錯 ...)
一開頭係 breakthrough 第 1 課 (我估係)，教 ge 都係點用 summation 同 method of difference。提到呢到，即刻將 MATH190 week 1 tutorial notes send 過佢睇，我當然鼓勵佢將 d 問題交俾個學生做 (事不關己嘛)，而且知識上係足夠應付。
過左幾日，MI，之後 binomial theorem，我見識大左之後知道呢類型題目真係可以變態得好緊要 (唔係指 AL)。尤其是 MI，往往要自己「加強命題」，非常之考創意。
提到 MI，又可以俾中五、六、七學生做，又幾技巧性 ge...，我手頭上唔多，而其中一條係
Problem. Show that for all positive integer $ n$, $ a \neq 1$, \[\frac{1-a^n}{1-a}+\frac{(1-a^n)(1-a^{n-1})}{1-a^2}+\cdots + \frac{(1-a^n)(1-a^{n-1})\cdots (1-a)}{1-a^n}=n.\]
我自己個做法都幾轉折，題目來自小卒討論區，當時只有我回答，冇人應我。幫緊中學生補習 ge 同學可以試試
一開頭係 breakthrough 第 1 課 (我估係)，教 ge 都係點用 summation 同 method of difference。提到呢到，即刻將 MATH190 week 1 tutorial notes send 過佢睇，我當然鼓勵佢將 d 問題交俾個學生做 (事不關己嘛)，而且知識上係足夠應付。
過左幾日，MI，之後 binomial theorem，我見識大左之後知道呢類型題目真係可以變態得好緊要 (唔係指 AL)。尤其是 MI，往往要自己「加強命題」，非常之考創意。
提到 MI，又可以俾中五、六、七學生做，又幾技巧性 ge...，我手頭上唔多，而其中一條係
Problem. Show that for all positive integer $ n$, $ a \neq 1$, \[\frac{1-a^n}{1-a}+\frac{(1-a^n)(1-a^{n-1})}{1-a^2}+\cdots + \frac{(1-a^n)(1-a^{n-1})\cdots (1-a)}{1-a^n}=n.\]
我自己個做法都幾轉折，題目來自小卒討論區，當時只有我回答，冇人應我。幫緊中學生補習 ge 同學可以試試
Thursday, July 15, 2010
最後兩條
真係 orz ...， style 同前果幾年唔同左。因為技術問題喺 workpress 打冇咁方便，用 pdf 黎記返低 d 題目。
370 Final Examination Problems.
小結係俾 kin li 玩死，同大眾一樣，做到頭 2 條，但 2(b) 慘死。
係唔係死左呢？其實我真係唔知，我睇返自己證法同 kin 完全唔同，
不過我做錯機會真係大好多。
**********
今日上完 seminar，發現唔少師兄都係高登仔，
我唔係孤獨架！
*********
370 Final Examination Problems.
小結係俾 kin li 玩死，同大眾一樣，做到頭 2 條，但 2(b) 慘死。
係唔係死左呢？其實我真係唔知，我睇返自己證法同 kin 完全唔同，
不過我做錯機會真係大好多。
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今日上完 seminar，發現唔少師兄都係高登仔，
我唔係孤獨架！
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Saturday, July 10, 2010
Wednesday, July 7, 2010
久違的 math midterm
好耐冇考過 maths midterm 喇，唔知點解往往都係臨考試前知識增長得特別快。三點半左右喺拉巴開始行去 rm2465，沿路見到好多中學生喺學術大堂果到睇 report。我埋去睇睇原來係初中 ge 數學專題報告黎，研究內容有三四種，我只記得一種，就係 convex polygon 有幾多種 partition 方法。其實呢樣係組合數學裏面講用 recurrence relation 做 counting 時 ge 一個典型 example，不過中二中三就識呢 d 野，對我黎講真係幾好野= = (我果時都唔知做緊乜)。沿路撞到 macro，佢又撞到自己中學啊 sir，咁佢地就傾傾傾，我用佢啊 sir ge 權力笠左包菊花茶飲。然後上課室等 4 點正果堂 midterm。
原來佢啊 sir 十幾年前係 ust 人，佢 ge 年代就係 kin li 教 204 ge 時代。
三點九，去到 rm 2465 等運到；
四點正，奇怪，kin li 遲到？
四點半，kin li office 冇人；
四半九，終於見人，原來係去左向班中學生做演講，唔記得內容係咩了。
**********
Problem 1. (10 marks) Let $ h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ satisfy for all $ x,y\in \mathbb{R}^2$, $ |h(x)-h(y)|\leq \frac{1}{3}d(x,y)$, where $ d$ is the usual metric on $ \mathbb{R}^2$. Prove that there exists a unique continuous function $ f:[0,1]\to \mathbb{R}$ such that for all $ x\in [0,1]$,
$ h\big(f(x),x\big)+h\big(x,f(x)\big)=f(x)$.
Problem 2. (a) (9 marks) For $ n=1,2,3,\dots$, let $ f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be differentiable such that $ f'_n(x)$ is continuous on $ I=[0,1]$. For every $ t\in I$, there exists at least one $ n$ such that $ f'_n(t)=0$. Prove that there exist a positive integer $ N$ and a nonempty subinterval $ J$ of $ I$ such that $ f_N$ is constant on $ J$.
(b) (1 mark) In part (a), if we replace $ I$ by the open interval $ (0,1)$, will the statement remain true? Please give a `yes' or `no' answer.
**********
其實兩條都係 standard 問題，我地成班人 ge 高低就係取決於成份卷裏面最神聖 ge 1 分題。yes？or no？我地大部分人都係做左九個字左右 (考試時間為兩個鐘)。每人大概都係用半個鐘就寫好頭兩條 ge 答案。(b) part 就算自己幾肯定都好，始終 metric spaces 呢個課題我仲係幾陌生，我唔敢擔保，自己做左少少證明，答左 yes。唯一令人猶疑 ge 地方就係 $ (0,1)$ 唔係 complete metric space，但佢只要 existence ...... 。
MC 永遠都係最刻人憎。
原來佢啊 sir 十幾年前係 ust 人，佢 ge 年代就係 kin li 教 204 ge 時代。
三點九，去到 rm 2465 等運到；
四點正，奇怪，kin li 遲到？
四點半，kin li office 冇人；
四半九，終於見人，原來係去左向班中學生做演講，唔記得內容係咩了。
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Problem 1. (10 marks) Let $ h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ satisfy for all $ x,y\in \mathbb{R}^2$, $ |h(x)-h(y)|\leq \frac{1}{3}d(x,y)$, where $ d$ is the usual metric on $ \mathbb{R}^2$. Prove that there exists a unique continuous function $ f:[0,1]\to \mathbb{R}$ such that for all $ x\in [0,1]$,
$ h\big(f(x),x\big)+h\big(x,f(x)\big)=f(x)$.
Problem 2. (a) (9 marks) For $ n=1,2,3,\dots$, let $ f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be differentiable such that $ f'_n(x)$ is continuous on $ I=[0,1]$. For every $ t\in I$, there exists at least one $ n$ such that $ f'_n(t)=0$. Prove that there exist a positive integer $ N$ and a nonempty subinterval $ J$ of $ I$ such that $ f_N$ is constant on $ J$.
(b) (1 mark) In part (a), if we replace $ I$ by the open interval $ (0,1)$, will the statement remain true? Please give a `yes' or `no' answer.
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其實兩條都係 standard 問題，我地成班人 ge 高低就係取決於成份卷裏面最神聖 ge 1 分題。yes？or no？我地大部分人都係做左九個字左右 (考試時間為兩個鐘)。每人大概都係用半個鐘就寫好頭兩條 ge 答案。(b) part 就算自己幾肯定都好，始終 metric spaces 呢個課題我仲係幾陌生，我唔敢擔保，自己做左少少證明，答左 yes。唯一令人猶疑 ge 地方就係 $ (0,1)$ 唔係 complete metric space，但佢只要 existence ...... 。
MC 永遠都係最刻人憎。
Sunday, July 4, 2010
有關 iblog
早前四至五月相信同學們都間中看到科大裏有宣傳 blog.ust 的 poster，今天好奇試試看。嗯，觀看網頁蠻流暢的；嗯，有一些 wordpress.com 本身沒提供的 theme (???)；嗯，有 100 MB 的上傳空間。
對一個以文字為主的 blogger 來說 (不是 google 那個)，它是很容易令人着迷。既然它是 wordpress，那我嘗試把自己原有在 wordpress 的所有東西 import 看看吧。看到效果後我立刻告訢自己，blog.ust.hk 不適合我。
本來相信它和 wordpress 一樣，卻在 最重要 的地方和 wordpress 不同。另外，在 blog.ust.hk 修改自己的文章時，會有以下選項：
其中沒有 preview change 。你在修改原文章後，view this post (圖中的) 不會顯示任何改變，按 save change 後基本上整個網頁也會刷新，別妄想 undo。對我來說真的諸多不便。還是我太挑剔？
對一個以文字為主的 blogger 來說 (不是 google 那個)，它是很容易令人着迷。既然它是 wordpress，那我嘗試把自己原有在 wordpress 的所有東西 import 看看吧。看到效果後我立刻告訢自己，blog.ust.hk 不適合我。
本來相信它和 wordpress 一樣，卻在 最重要 的地方和 wordpress 不同。另外，在 blog.ust.hk 修改自己的文章時，會有以下選項：
其中沒有 preview change 。你在修改原文章後，view this post (圖中的) 不會顯示任何改變，按 save change 後基本上整個網頁也會刷新，別妄想 undo。對我來說真的諸多不便。還是我太挑剔？
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