久違的 math midterm

好耐冇考過 maths midterm 喇，唔知點解往往都係臨考試前知識增長得特別快。三點半左右喺拉巴開始行去 rm2465，沿路見到好多中學生喺學術大堂果到睇 report。我埋去睇睇原來係初中 ge 數學專題報告黎，研究內容有三四種，我只記得一種，就係 convex polygon 有幾多種 partition 方法。其實呢樣係組合數學裏面講用 recurrence relation 做 counting 時 ge 一個典型 example，不過中二中三就識呢 d 野，對我黎講真係幾好野= = (我果時都唔知做緊乜)。沿路撞到 macro，佢又撞到自己中學啊 sir，咁佢地就傾傾傾，我用佢啊 sir ge 權力笠左包菊花茶飲。然後上課室等 4 點正果堂 midterm。

原來佢啊 sir 十幾年前係 ust 人，佢 ge 年代就係 kin li 教 204 ge 時代。

三點九，去到 rm 2465 等運到；
四點正，奇怪，kin li 遲到？
四點半，kin li office 冇人；
四半九，終於見人，原來係去左向班中學生做演講，唔記得內容係咩了。

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Problem 1. (10 marks) Let $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ satisfy for all $x,y\in \mathbb{R}^2$, $|h(x)-h(y)|\leq \frac{1}{3}d(x,y)$, where $d$ is the usual metric on $\mathbb{R}^2$. Prove that there exists a unique continuous function $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ such that for all $x\in [0,1]$,
$h\big(f(x),x\big)+h\big(x,f(x)\big)=f(x)$.

Problem 2. (a) (9 marks) For $n=1,2,3,\dots$, let $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be differentiable such that $f'_n(x)$ is continuous on $I=[0,1]$. For every $t\in I$, there exists at least one $n$ such that $f'_n(t)=0$. Prove that there exist a positive integer $N$ and a nonempty subinterval $J$ of $I$ such that $f_N$ is constant on $J$.

(b) (1 mark) In part (a), if we replace $I$ by the open interval $(0,1)$, will the statement remain true? Please give a `yes' or `no' answer.

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其實兩條都係 standard 問題，我地成班人 ge 高低就係取決於成份卷裏面最神聖 ge 1 分題。yes？or no？我地大部分人都係做左九個字左右 (考試時間為兩個鐘)。每人大概都係用半個鐘就寫好頭兩條 ge 答案。(b) part 就算自己幾肯定都好，始終 metric spaces 呢個課題我仲係幾陌生，我唔敢擔保，自己做左少少證明，答左 yes。唯一令人猶疑 ge 地方就係 $(0,1)$ 唔係 complete metric space，但佢只要 existence ...... 。

MC 永遠都係最刻人憎。