線稿完成

還留有一些錯誤的線條，待明天精神的時候再作更改。線稿十之有九已定案：

比例上有很多的更改，原稿請前往本篇日記。

Challenge 地下城 (No Con)

1. 試了大概 10 次，最後一次慢慢來，用模擬器慢慢堆 combo 和留珠（這非常重要...，例如 1 橫暗 + 一串 3 粒暗，外加 2 combo 能把兩隻赫拉秒掉），終於以萬全姿態進入最後一關：

兩橫 12 + 10 粒，轟呀！

認識身邊有 46x rank 的人，以覺醒毒撚過了最後兩個 no con 地城，看來我都是時候升一下 3 恥了 ...。

2. + 蛋 5 倍有感。在 ヘーメラウ火山地帯 打了 2 小時便有 2x + 蛋和無數的火屬企鵝。而且恰巧地，企鵝吃任意一隻在此地城跌的同屬的蛋都會立即剛好滿等。再在購入地城打海量龍葵，4 石 (250 體) 輕鬆升滿兩隻火屬寵！ (ps: 企鵝出現和跌率也是奇高的。）

3. 用了 2x 石升技，已升滿：

• 守護龍 2、3 號
• 火龍女 2 號
• 木龍女 2 號

火龍女 2 號升滿後可進覺醒戰女神隊。現在難題在於怎樣升好點燈寵。火機龍 12 turn。舊火埃要升 11 回，火赫 10 回，舊火埃 17 回（已升好）。已決定必入舊火埃，將會有一埸血尿的升技地獄 ....。

為了安定地把王打到暗/光屬性，點燈大花火真的超重要。朱雀 + 千代女據經驗經常只有 1 橫排 3 combo，在沒有點燈情況下依然不夠力。

第 3 隻 297 | 聖誕抽蛋 | 300 天

1. 其實我有很多寵 + 值餵到 2xx 便停餵了 ...，為了賺友情點數不得不把 + 蛋分類再把一些熱門寵物餵到 297。

水龍女 + 值前身來自水光雙子。吃掉原因是水回隊的回復力在 + 值不足下，和其他隊相比回復力不大，攻擊力也不高。而且我有抽到另一隻水雙子，果斷把 15x + 值的水雙子吃掉。然後經過幾輪星寶後終於把水龍女 297 了...。

現在 + 值主要在餵藍奧，期望假以是日能組到一隊 + 值高的完美水龍女隊。

2. 在聖誕抽蛋活動搭正晚上 11 時便開始抽了，目標是 "4up" 中的朱雀、朱雀 和 朱雀（很重要要說 3 次！）。第 1 pack 有數隻金蛋，是 mini 光天和一些已有的 4 神。待 office 人開始比較多後找他們來幫我慢慢抽第 2 pack。這次金比較多（幻想：我猜這遊戲會在螢幕檢測生物特徵，如這些特徵較多樣化，抽到好東東的機會增加！），中了聖誕麒麟及光精。也有一些四神，沒有朱雀 （教練，我想組火隊呀 .......）。

有很多重覆的都給原版作練技寵吃掉了 ...，青龍終於滿技了。然後第二天又課了 30 石準備用到月尾，臨睡前心想有很多有用的聖誕限定寵沒抽到，還是不爭氣的和馬桶握手 ...........。最後抽到 mini 白盾和 mini 月讀，在我心目中比原版好的寵！

這次抽蛋外加一件有趣的 "光精事件"。老實說我這光精組的有空歡喜過，雖然深深體會到何謂魚蛋論，但畢竟錢是花了，我也沒有甚麼損失，沒有全石退回便隨他吧～。

隔了兩天，光精事件倍償那 5 石到手，有一天看到 Twitch 直播的人頭數抽便有朱雀，心裏不是滋味。我想反正這遊戲半個月內也沒有甚麼有趣的活動，立馬不安地再次和聖誕馬桶握手 .............

終於到手了！除非 hunter 活動再開，又或者有魔法少女小圓呀，JoJo 呀之類的合作活動，不然沒有動機再抽蛋了 （某些限定神如光咖哩之類的到現在還沒到我 box，但我不玩雜色隊...，所以沒差！）。

3. 300 天，送 10 石！

Exam Problem from Probability Class

These two days PG students in our office struggled for their take-home final exam with dead-line two days after it was released. They were stuck with the following problem (and so I was, pleasantly, asked for help):

Problem. Let $(X,\mu)$ be a probability measure space such that $f_n \stackrel{\mu}{\to} 0$ and that $\text{Var}(f_n)=1$, prove that $E(f_n)\to 0$.

Here $ \text{Var}(f_n) = \int_X f_n^2\,d\mu -(\int_X f_n\,d\mu)^2$ and $E(f_n)=\int_X f_n\,d\mu$.

In the sequel we denote $\int f=\int_Xf\,d\mu$ and $\int_A f=\int_A f\,d\mu$. Then $E(f_n)$ is also written as $\int f_n$.

In the proof below we need an elementary inequality from probability that easily follows from Chebyshev's inequality: \[
\mu\{x\in X:|f_n(x)-E(f_n)|\ge a\}\leq \frac{\text{Var}(f_n)}{a^2}.
\]
Proof.

升技

最近 P&D 沒甚麼搞作，even P&D W 那有柯南的合作活動也沒有理 ...，取而代之不斷開升技的地下城。那趁這個機會，作為第 2 年半才加入這遊戲的玩家，把握機會把遠古時代的寵都升好 ...：

商業神會進水龍女隊，水幻獸和火惡魔不知怎樣組 ...。我玩這麼久就是沒有心力嘗試火屬的寵（看那精美的回復力 ...）。而且火隊 VIP --- 朱雀一直沒有進入我的 box，組火隊意欲無從說起 ...。至於星矢地下城還可以升木悪魔，但沒有動力升了...。

以下練滿的是較近期才出的寵：

新暗印會進執行隊在首回合自殘。P&D Z 的那隻甚麼甚麼 ...（想不起）實在很少見人在用 ... 純粹的升技副產物。

救紗織！

$\bullet$ 在神 up 前有 mura's pick，意思意思 4 抽望抽到第 2 隻服部。

當然沒有那麼幸運，光魔神是重複的，守護龍不嫌多，現在有 3 隻可入木關隊再配一直點燈寵。不錯，結束抽蛋。

$\bullet$ 進化了的紗織是光回隊的理想隊員， 2 skill boost，1 屬強！感覺抽到後光回隊隊型會更加完整。雖然細心想過後 2 大小喬不比 1 喬 + 1 紗織差，但 2 skill boost 實在太吸引，狠下心課了 1 pack，希望救得紗織歸！

呃 ...，在第 4 抽已經抽到紗織，本想在這 pack 裏把另外的金都抽出來，但最後 3 金全部紗織，算是幸運中的不幸 ... -_-。怎樣都好，不用抽第 2 pack 已滿足！

$\bullet$ challenge 地城 8，無回復珠，交了一石破關。

如果留珠妥當的話絕對可以 0 石，但我真的很難控制執行的火力 ...，在木天使那關要打出 60 萬攻擊力破防，但 2 串暗 + 數 combo 隊友的 297 執行攻擊力已飄到 140 萬 .......，如果知道天降那麼多的話絕對絕對絕對可以 0 石的 T___T（喂 ...。

Record a problem

office 某人問我以下一條從 probability 書抽出來的 exercise：

Problem. Suppose that $\{c_{jn}\in \R: j\leq n, n=1,2,3,\dots \}$ satisfies $\dis \lim_{n\to \infty}\sum_{j=1}^n c_{jn}=\lambda$ and $\dis \limn \max_{1\leq j\leq n}|c_{jn}|=0$, prove that \[ \limn \prod_{j=1}^n  (1+c_{jn})=e^\lambda=\exp \brac{
\lim_{n\to \infty}\sum_{j=1}^n c_{jn}}.\]  

不難的，可作為不錯的 Math2033 exercise。 這 identiy 告訴我們只要知道 $\limn\sum_{j=1}^n c_{jn}$ 就可以計算相關的 infinite product。當 $c_{jn}$ 與 $j$ 無關時相信是 elementary analysis 裏非常 standard 的 exercise。齊來取一些 numerical example 看看能否得到有趣的 identity。

• $c_{jn}=1/n\implies \dis \limn \prod_{j=1}^n  \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)=\limn \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n=e$
• If $p> 1$, $\dis c_{jn} = 1/n^p\implies \limn \prod_{j=1}^n \bigg(1+\frac{1}{n^p}\bigg) = \limn \bigg(1+\frac{1}{n^p}\bigg)^n=e^{\limn\frac{1}{n^{p-1}}}=1$
• $\dis c_{jn}= \frac{j^k}{n^{k+1}} \implies \dis \limn \prod_{j=1}^n \bigg(1+ \frac{j^k}{n^{k+1}}\bigg)=\exp \bigg(\limn \frac{\sum_{j=1}^n j^k}{n^{k+1}}\bigg)=e^{1/(k+1)}$
• $\dis c_{jn} = B_n \times \int_{j-1}^j f(x)\,dx$, then \[ \limn \prod_{j=1}^n \bigg(1+B_n \int_{j-1}^j f(x)\,dx \bigg) =\exp \brac{\limn B_n\int_0^n f(x)\,dx},\] in particular, if we take $B_n =(\int_{j-1}^j f(x)\,dx )^{-1}$, then \[ \max_{1\leq j\leq n}\left| \frac{\int_{j-1}^j f(x)\,dx}{\int_0^n f(x)\,dx} \right|\to 0\implies \limn \prod_{j=1}^n \bigg(1+\frac{\int_{j-1}^j f(x)\,dx}{\int_0^n f(x)\,dx} \bigg)  = e. \]
• Many examples of infinite products converge to $1$.

1. 金色的築山──打錢的一個限時地下城，打了兩石，一小時內讓我從 100 多萬金幣回復到 2000 多萬。和土日地下城一樣用以下隊伍配上隊友的 297 水龍女：

2. 義愛龍地城，隊伍需有齊 5 種屬性的寵物，碰巧發現我有齊所有屬性的惡魔寵，因此組出了以下高血高回的呂爖全屬隊 .......，每一層都是磨磨磨！

當然都是 0 石。

3.  今天星寶，打了 4 石共有 60 隻 + 蛋，沒有紅奧不曉得怎樣在一小時內打 100 隻 + 蛋 ...。

4.  終於 466 rank 了，有着 249 的體力，和 250 體幾乎沒有任何差別。現在在這遊戲上會放慢進度，專心報學校和寫為各大學校而設的 personal statement。恐怕 567 rank 會是半年後的事。

5. 可善用 250 體的優勢狂刷素材升技了，星矢地下城有很多我可用作升技的寵 XD。

遊戲內的錢不夠用 ...

幸好戰友表那有人掛升好的錢印，那我用水龍女隊嘗試用水屬強硬輾吧 ...。

以上 + 值為 0 及有 9 個水橫一列。遇上緊急的情況開水龍女 / 水魔神，只要不是同時被 3 隻寵打便沒有危險（可回起來！）

175 萬，大概可讓我再買一次機龍 rush！

以機龍 rush 衝 rank！

到達 467 rank 的話便有 250 體，這體力刷甚麼都很方便，因此這幾天玩 pad 時都只會集中在升 rank 這方面（ECO 有空才刷吧，畢竟 change the world 這技能不需要那麼多呀 ...）。

可購入地下城有「機械龍ラッシュ！」，這是比神神王衝等更快的關呀！以下是這關可取得的最大經驗值：

也就是經耐比是 1103.5，比神神王平均的 824 多很多。經驗值會因此關的 追擊者 的（亂入）出現而有所減少。可幸的是亂入率很低，因此 55175 可視為本關的固定經驗。機龍 rush 比神神王多 3 倍經驗，也就是說升 rank 速度是平時的 3 倍速！

在本篇日記前的截圖可以看到我的金錢量從 27xx 萬變成 13xx 萬 ...。機龍 rush 真的很貴，要開始練一隻新光印度神（錢印）了。

在網上看到的快刷隊有的是潘多拉隊，但我的潘隊 + 值不高，也沒有雙服步，嘗試數次後便方棄以潘隊刷機龍 rush。反而使用上較傳統的呂龍隊：

翻車率經過重覆的試驗後降為 10 埸最多死 1 埸。能以白虎 + BT 暗防 + 呂布技進入王關的話從來沒有失手過！以往我呂龍隊都只會帶一隻火龍女，和上面不同的是隊員的龍女多換成暗暗路作點燈用。用多了上圖的隊後開始覺得點燈作用實在不大 ...，要殺 450 萬血或以下的王根本不需要點燈呀！...  （看來暗暗路是白練了 ...，很少關的王有多達 600 萬血）

在

打 4 埸 --> 刷挑戰者模式 --> 取石 --> 吃石 --> 從機龍 rush 那升 rank，再打 4 埸 --> ...

在這個 loop 下可持續地一日內升了 10 rank。非常可能地，將離 467 從之前想的一個月大幅會縮短為 2 至 3 日...。

機械式衝等 ...

最近的雙週 / 降臨地下城在有多餘體力下會為了領石進去一次，因沒甚麼技想升，所以現在把所有自然回復的體力投放到升 rank 上。現在剛升滿 1 rank，把所有體力用來刷神神王後距離下一次升 rank 還差半條經驗 .......

按這步伐只能一日一 rank，離 467 rank 還有最少一個月 ...... 很漫長 T_T。

此外，通常每條體都有 5 顆 + 蛋的收穫，兩個月就有一隻 297 了！但因 24x 和 29x 相差不大，現在大多餵至 24x 左右便會停止。現在 + 值都在餵代行，現 108 + 值，期望白盾新究進令代行隊變得更強。

看來為了更有效衝等，只好把時間計盡，半夜起身刷神王了 ...。

1000 日活動抽蛋

1. 因之前在超人合作抽蛋那重傷，這次在前半神 up 抽 1 pack，後半 4 抽應節。

在前半神 up 的 10 隻寵物中只有洛基和雷神是我想要的，最後只抽到洛基，還來兩隻。

但最後抽到藍奧，這 1 pack 算是值了！在後半神 up 4 抽 3 金，舊水印、第 2 隻白虎 和 大國主，結束抽蛋。

2. 因白盾及異色盾在將推出的新究進中需要那隻超肥大的龍王作素材，剛巧最近有龍 rush，嗯，抱着必須用石過的決心嘗試挑戰。在第一次挑戰便遇到了！

因這貨有着 150 萬的防禦力，別無他法下把所有的技用盡，寄望 23x + 值的服步可以打穿他，最後成功進入最後一關：

可惜吸暗屬攻擊 ...。用了 2 石捱過吸暗後，它再發動吸暗 ...，又用了 2 石捱過，最後終於吸光了 ...。

再一次使用白虎服步，點燈，然後輕鬆解決。現在回想為了這隻龍王打絕地獄的關很傻，因白盾的新究進出現後必定會有送龍王的關 -_-。

$\ol{A+B}=\ol A + \ol B$? 知識愈多，想法愈笨

最近有 Math4061（即 370）的學生來 office 問我功課的問題，其中一道題是：

Let $A,B$ be subsets of a normed space, is $\ol{A+B}=\ol A+\ol B$ always true?

這道題我很有印像，我肯定自己上這門課時答過這題。經歷 4 年多後，我立刻想到的 example 是：

例 1.  $A=\Z,B=2\pi \Z$, 其中 $A,B$ 皆為 closed set，因而有 \[
\ol{A+B}:=\ol{\Z+2\pi \Z}=\R  \neq \Z+2\pi \Z =:  A+B  = \ol{A}+\ol{B}\foot\qed
\]
但學生不滿意，因他未學過 $\ol{\Z+2\pi \Z}=\R$ 這性質（詳見 本篇日記，其實沒有 course 會教吧 ...）。那麼我再想想有甚麼 4061 必懂的知識解答。我再作一個 example：

例 2. 設 \[A=\spann\{1,x^2,x^4,\dots\}\] 以及 \[B=\spann\{x,x^3,x^5,\dots\}\] 為 $C[-1,1]$ 的 subspace（更明確地，讓我們記 $x=\mathrm{id}|_{[-1,1]}$），容易證明 \[\ol A=\{f(x^2)|_{[-1,1]}:f\in C[0,1]\}\quad \text{及}\quad \ol B=\{xf(x^2)|_{[-1,1]}:f\in C[0,1]\}\text{，}\]且由 Weierstrass approximation 有 $\ol{A+B}=\ol{\mathbb P[-1,1]}=C[-1,1]$，因此問題變成研究 \[
\ol{A+B}=C[-1,1]\stackrel{\bm{\Large?}}{=} \{f(x^2) +xg(x^2):f,g\in C[0,1]\}=\ol A + \ol B\text{。}
\] 不難證明上述的左右邊不相等。為此，設 $\phi(x) = f(x^2)+xg(x^2)$ for some $f,g\in C[0,1]$，我們嘗試尋找 $\phi$ 必須要有的 condition。

留意到當 $x\neq 0$ 時，必有 \[
\frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}=2g(x^2)\comma
\]亦因此 $\dis \lim_{x\to 0}  \frac{\phi(x)-\phi(-x)}{x}$ 必定存在。顯然  $\dis \begin{cases}0,&x=0,\\ \dis   x\sin \frac{1}{x^2},& x\neq 0\end{cases}$ 是不能滿足此條件的 continuous function on $[-1,1]$，故 $\ol{A+B}\neq \ol A+\ol B$。$\qed$

但 4 年多前，我作為 year 1 學生，會想這麼多嗎？我不認為自已有能力想得這麼複雜（那時我上 Math204 只有粗粗學過較為"玄"的 analysis，Weierstrass approximaton 甚麼的頂多聽過絕無用過），再找找我以前被批改過的功課，發現我以前作了以下 example：

例 3. 考慮
\[
A= \{-1,-2,-3,\dots\}\quad \text{和}\quad B=\left \{2+\frac{1}{2},3+\frac{1}{3},4+\frac{1}{4},\dots \right\}
\] 容易看到 $\ol A=A,\ol B=B$，及 $0\in \ol{A+B}$ 但 $0\not\in A+B$。$\qed$

多簡單！ ............ （不排除我那時不懂這題然後找 kin li 問 "hint" 的可能性）

最後討論一下甚麼時候 $\ol {A+B}=\ol A+\ol B$。對於 $\R^n$ 這類較簡單的 normed vector space，容易證明當 $A$ 或 $B$ 其中一個是 bounded 時有 $\ol{A+B}=\ol A + \ol B$。

緊急技 up

嗯，沒有活動的星期 3 按慣例有「緊急」技 up，最後 4 技用了 20 隻 "魔眼怪鳥" 把水天使的技升滿：

最後把水天使的 level 升滿便可以打降臨：（高血的水回隊）

以上隊員全滿技，而水雙子在 "UFO" 活動前並未抽到，技還沒練滿，也沒心力刷那條升技的水龍。

久沒更新

最近發現購買地下城的表裏有水神祕龍，突然想起 ── 呀！ ... 水天使的升技寵！

買了 3 小時，現在這支鳥的名字還是不清楚（暫且稱為升技鳥）。水神祕龍的關有掉 10 隻已進化了的升技鳥，但吃 10 的結果只有升 1 ...。

經歷數天，不停的打呀打，打 3 種不太扯但跌率低的進化素材（水 eason、水鬼面、水面具），然後把上面的升技鳥進化：

小的要求不多，只望再升 4 技（即升滿！）。

最近抽到水鎧騎士，試組一隊水龍女隊（因水波利王的三圍實在太低，一直不想組 ...）：

如抽到商業神必把青龍換掉。以上每隻只有 1 、2 點 + 值。然後找一個 297 的水龍女嘗試爆發：（2 串水）

想說為甚麼水龍女攻擊力會比鎧騎士低 ...，原來水龍女和水魔神竟不是神 type 囧。只好乖乖練一隻水波利王了...。

如果 + 值不夠多的話，水龍女隊沒比火龍女隊好。惡魔隊員簡簡單單都能衝上 1700 攻擊力 （沒 + 值下），單隻爆發在惡魔 2.5 倍加成下簡簡單單就能衝上 100 萬 ...，但水龍女隊主要的體力隊員攻擊力多不突出...，暫時看來水龍女隊是另類的可爆發型磨隊（短期內也不能用來挑戰降臨 ...）。而且同樣是 + 值足夠的話，呂龍隊的回復力也不差，甚至比回復隊好。

一些降臨、250 天

這幾天當有多餘體力便打 50 體的降臨關消體。

1. 狂皇子：

其實一入埸便可以火龍女 --> 服步 --> 點燈，但謹慎起見還是開白虎技把王的血壓低一點。事後，經實驗後發現原來暗大火花 + 點燈後，除了自已的潘外，在 1 combo 下所有暗屬攻擊單隻破 100 萬 ... (U´Д`)。

2. 水宙

這一關打了 3 次所通過（看村井的光埃神運通關有點無言 ....）。尾 2 關的連續爆發比較好運，尾 2 因光珠和心珠較多，開冥后技再點燈秒過。而最後一關暗珠能組到 2 排，而且天降多 1 combo，總計 6 combo，讓火龍女技發動，多 1.2 倍加成。

3. 250 天，現在 409 rank 了... （5 石 get！）。

Record a problem

Let $H$ be a Hilbert space. It is well-known that if $Z$ is a convex and closed subset of $H$, then for every $x\in H$, there is a unique element $z\in Z$ such that \[
\|x-z\|=d(x,Z).
\] Let's denote this unique element $z$ by $P_Zx$.

Problem. Let $Z_1\supseteq Z_2\supseteq Z_3\supseteq \cdots$ be a chain of closed convex subsets of a Hilbert space $H$, show that:
(a) If $\capp_{n=1}^\infty Z_n \neq\emptyset$, then $\|x-P_{Z_n}x\|\to \|x-P_Zx\|$.
(b) If $\capp_{n=1}^\infty Z_n=\emptyset$, then $\|x-P_{Z_n}x\|\to \infty$.

Since $Z_n$'s are not subspace of $H$, $P_{Z_n}$ itself is not a linear map, and therefore standard tools from functional analysis cannot be used. Nevertheless, by assuming $Z_n$'s are further a closed subspace, it is instructive to see a weak-convergence argument to conclude the result in (a) --- a slightly complicated solution.

Some also asked me can $\capp_{n=1}^\infty Z_n=\emptyset$ happen? Below is an example to show there is a chain of closed convex subsets with empty intersection:

Example. Let $Z_n=\{(1,\frac{1}{\sqrt{2}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}},a_1,a_2,\dots):(a_1,a_2,\dots)\in \ell^2\}$, then $Z_n$ is convex, a closed subset of $\ell^2$, and descending in $n$. However, if there is $(x_1,x_2,\dots)\in \capp_{n=1}^\infty Z_n$, then necessarily $x_n=1/\sqrt{n}$ for every $n$, and this element is not in $\ell^2$, a contradiction. So $\capp_{n=1}^\infty Z_n=\emptyset$.
　　Next what is $d(x,Z_n)$ in this particular example? By definition for $z\in Z_n$ we have \[
\|x-z\|^2 = \sum_{k=1}^n\left|x_k-\frac{1}{\sqrt{k}}\right|^2+\sum_{k>n} |x_k-z_k|^2,
\] hence for fixed $x\in \ell^2$ the smallest possible $\|x-z\|$ is \[
d(x,Z_n)=\sqrt{\sum_{k=1}^n \left|x_k-\frac{1}{\sqrt{k}}\right|^2},
\] of course this diverges to infinity as $n\to\infty$ for any fixed $x\in \ell^2$. What's more, \[P_{Z_n}x =\textstyle (1,\frac{1}{\sqrt{2}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}, x_{n+1},x_{n+2},\dots).\qed\]

Basis of $\R^\infty=\R^\N$ must be uncountable

Recall that a subset $M$ of a vector space $X$ is a basis if and only if every element in $X$ can be written as a linear combinations of finitely many elements in $M$.

The title of this post has a simple proof: $\{a_\alpha\in \R^\infty\}_{\alpha>0}$, where $a_\alpha = (1^\alpha,2^\alpha,3^\alpha,\dots)$, is an uncountable linearly independent subset, so every basis has to be uncountable.

I just want to point out knowledge in functional analysis quickly gives an intuitive answer.

Suppose $\R^\infty$ has $M$ as a countable basis, then consider its vector subspace \[\ell^\infty:=\{(x_1,x_2,\dots)\in \R^\infty: \{x_n\} \text{ bounded}\},
\] a standard prototype on which we do functional analysis, must also have a countable basis. However, if we equip $\ell^\infty$ with a norm $\|(x_n)\|=\sup_{n \ge 1}|x_n|$, then $\ell^\infty$ becomes a Banach space with countable basis.

This is a contradiction to the standard fact in functional analysis that every basis of an infinite dimensional Banach space must be uncountable, so every basis of $\R^\infty$ must be uncountable!

升級至 OS X Yosemite

甘心做隻白老鼠，心癢難耐下花了一個晚上下載裝上這次更新。

很漂亮吧？但背後可費了很大功夫！（時間多用在搜尋方法解決問題）

問題 1. 首先 dock bar (最底那列 icon) 預設是很醜很難看的模疑玻璃（在網上所見，劣評較多）。現有的解決方法是使用 cDock，我用的是這個 app 的 base option。

$\qed$

問題 2. 另一個問題是預設的系統字體是 apple 的 Helvetica Neue，如下圖（順便看看那 dock bar 多醜 ...）：　

那是非常近似於 Windows 裏的 Arial。這設計反對的聲音不少，因一直以來的 mac 用家也不是用這一種字體。以我來說是非常的反感，因字體的感覺明顯地是舊版的看上去較舒服。試想想你看一篇滿是 Arial 字體的論文，這感覺是絕對不好受吧？

回至 Lucida Grande（即 mac OS 一直沿用那種，直至 OS 10.9 為止）只需用  本連結  裏某人寫的 app 即可。$\qed$

這樣大至上美觀上的問題都解決了。折騰了一日現在用 Yosemite 蠻輕鬆快活。

順帶一提，使用 nosleep 這個 apps 可快捷地令電腦失眠，甚至是把蓋合上也不能使這台 macbook 進入 sleep 的狀態（我在晚上睡覺前就是靠這個 app 令電腦保持清醒來下載 5 GB 的 OS 更新），到不需要時在 manu bar 按 icon 一下，回復可睡眠狀態。

A Problem

Problem. Suppose that (i) $\{x_n\}$ is bounded and (ii) $\limn (x_{n+k}-x_n)=0$ for every $k\in \N$. Is $\{x_n\}$ convergent?

Solution.

A Math5011 Exercise

In a discussion with some students in this course I find that I have another solution different from the official one.

Problem. Let $\mathcal N$ denote the Vitali set in $[0,1]$, show that $m^*([0,1]\setminus \mathcal N)=1$.

Remark. Here $\mathcal N$ is a set of those representatives of classes in $[0,1]/\!\!\sim$, where $\sim$ is an equivalence relation on $[0,1]$ given by $x\sim y\iff x-y\in \Q$, and we have $[x]=(x+\Q)\cap [0,1]$. Of course we know that $\mathcal N$ being a nonmeasurable set must satisfy $m^*(\mathcal N)>0$.

新的神面之間隊伍

話說最近一次的自選 3up 手痕抽了一單...，有幸抽到新的寵---次元魔術師。所以便組成了以下的快刷隊........ （穩得不能再穩 ... orz）

Record a problem

In PG office PhD students are preparing their "Qualifying Exam" in Advanced Calculus, one of them discusses with me the following interesting question:

Problem. Find a sequence $\{x_n\}$ of real numbers such that $\dis \limn x_n=1$ and \[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{x_n}}<\infty.
\]Solution.

其實大小喬蠻厲害的 ...

心轉光的寵很少，而在大小喬隊能同時擔任 "草屬攻擊" 這角色看似只有白盾，被轉珠技蒙閉相眼的我忘記了其實可用雅典娜代替 ....

放棄 5 cd 轉珠寵，以上這隊只要 4 顆光屬珠再發動 16 倍技能雅典娜能簡單打出 20 萬的傷害  （光拉打也有雙 2 way，但沒多留意他打出的傷害）。現在回想這隊蠻厲害的 ...， 4 隻轉珠寵，1 增傷，1 點燈。也可使用木諸代替神爸，主要增加攻擊 type 的攻擊力 （我的所有轉珠技都不會把木珠轉走）。

這隊比光埃隊優秀的地方是 極穩定 及 不難做出大爆發，只要 火 水 木 三色各有 3 顆，就可以阿波羅（火 水 木 光）或 光拉打 + 大小喬（水 木 光 心）作光 double 攻勢。大小喬的主動技更是可攻可守（本身整隊也不低回！）。

唯一遺憾是光和神覺醒太差 ...。

新玩具，apple 服務超好！

增加桌子可用空間（例如 keyboard 呀甚麼的要工作時可放到 macbook 下）：

價錢是 $378。買這件 mac 玩意有一段不必要的辛酸史。

話說買這個 stand 的決定是心血來潮的，然後直接在 apple store 網上訂購，免費 shipment。我在本周 3 訂購，貨物預期在下周 1 送到。誰知因為貨品太快送到 DHL 某分站因此他們在本周 4 晚上 6:00 pm 以 SMS 形式通知我在當天晚上會把貨物送到。但整個晚上沒有人在家，所以 DHL 公司留下 calling card 要我自已跟進。

在感到厭煩之際我在想，能否 cancel order 再到 apple store 走一轉。但 apple 那 view order 的網頁已沒有 cancel order 這選項。在亂按下我按了 return and refund。我細看這選項的內容時還以為要先收到貨品，再親自走到 apple store 退還。所以致電 DHL 詢問我的貨件進程。但他們說找不到我的貨件呀甚麼的，先讓他們跟進情況，要我等他們的電話。半小時後得到回覆。

原來 apple 有另一個貼心的服務，就是儘管趕不及 cancel order，只要貨沒到你手，送貨公司可直接幫你還貨給 apple！當然，refund 一定比原價低，我這購物的衝動令我損失了 $50。

這段麻煩史是不必要的。今天，即星期五，我約了同學在又一城集合（他在中大讀 PhD，到城大上 functional analysis），準備前往金鐘靜坐撐學聯。沿經往城大的那一段路才發現又一城也有一間很大的 apple store ........ ，那裏面有這個 stand 了.....，然後開開心心的把這個 stand 買走 ........。

ITunes 和 Low Battery Saver

1. Itunes 的 prodcast 非常方便！港台節目都不用到 Mytv 看了。

看過的節目會在 24 小時後自動 delete。如有新一輯節目會自動下載。

2. 用 macbook 的人通常對電池的使用十分執着，因為這台機械小說都得花上萬多元⋯⋯。要經常充滿 + 放電才能維持電池的健康（沒有深究背後 theory）。但正常使用不會經常觀察電池量，有一次電量降到 5% 才驚覺要充電！（維持低電壓對電池有負面應響（？））
　　在網上找到數款監察電池量的 apps。其中個人覺得 Low Battery Saver 較好：

我的設定是當電池只可多大約多運行 45 分鐘時 (約總電量的 18% ) 便會發出如上面的驚告。

mac 外接另一個螢幕 (clamshell mode)

很簡單地用 "雙公" 的 HDMI 插頭把 macbook 和螢幕連接，然後蓋上 macbook 便能把較大的 mon 作為主 mon。在家裏這種用法還是比較舒服。

唯一要抱怨的是在我大 mon 中 macbook 的字體會有一點模糊。但這對觀看影片和正常的文書處理沒有多大影響。開始後悔最近因火牛壞掉重新組裝了 3000 多元的 desktop ... (有 macbook 根本就不需要 desktop 嘛！)

後記：clamshell mode 不方便的地方是必須插上 charger，用 mirroring 模式再把 macbook 的 brightness 掉到 0 會是一個較好的 solution （為了電池的健康）。

mac 的 previewer 原來可輕鬆剪及合併 pdf

經常有 pdf 因為 margin 太大使到 2 page to 1 page 這種打印方法印出極細小的字。在 windows 我們有 pdf scissor，但 mac 就 "沒有" 那麼方便了。但其實是有的！

佔中 --- 旺角據點

現埸很亂，我 8 時多到達的時候藍屍多已被收拾，旺角陣地已取回。逗留 3 小時候離開。

(無線) 電視台團隊為拍攝爬到地鐵站頂 ...

Lecture Notes on Numerical Analysis (Theoretical Aspect)

15th Internet Seminar 2011/12

Operator Semigroups for Numerical Analysis

神面之間

終於神面之間地獄級的地下城都用潘隊穩刷了...... (要抱 297 大腿!)。

影片是從 mobizen.com ---> macbook pro retina ---> quicktime player screen capture 拍出來。不知為何影片質素比 windows 的 chrome 差很多 ...。

今天在 pg office 學生協助 (?) 下 (幫我吃升技寵而已 ...)，這些都升滿了：