這是我預備的 Presentation soft copy (Click)
TA 說：「又屈條 inequality 出黎....」= =。
今天有人再一次問我，甘仔 (定金?) 先前提出的問題的解法，已知 $g$ 是 differentiable (其餘 condition 略)
他問：「為甚麼一定存在 $c$ 令到 $ g'(c) = 0$？」
(這個問題沒甚麼，我再一次解釋一番)
我道：「因為由 slope 看到 local extrema 必定在那開區間裏發生」
(再明確一點 $ g'(a) < 0\implies$ $ g(a)$ 不是 minima，$ g'(b)>0\implies$ $ g(b)$ 也不是 minima，又由於一個 continuous function 必定在閉區間裏達到最大最小值，因此最小值必定在開區間 $ (a,b)$ 裏發生。)
他又問道：「那 $g$ 起角怎麼辦？」
我：「……」
事後又給我撞正他說我甚麼解釋得不清楚，諸如此類的，我快心臟病發。有時腦內補完也是蠻重要的吧?
Saturday, February 27, 2010
Thursday, February 25, 2010
MATH190 presentation next week
I am here to post my answer (numerical and method only) for my teammate, you can use it to check. If our answers are different, please discuss with me.
Problem (1990 Austrian-Polish Math Competition)
Let $ n>1$ be an integer and let $ f_1,f_2,\dots, f_{n!}$ be the $ n!$ permutations of $ 1,2,\dots,n$ (each $ f_i$ is a bijective function from $ \{1,2,\dots,n\}$ to itself). For each permutation $ f_i$, let us define $ \displaystyle S(f_i)=\sum_{k=1}^n|f_i(k)-k|$. Find $ \displaystyle \frac{1}{n!}\sum_{i=1}^{n!}S(f_i)$.
My numerical answer. $ \displaystyle \frac{n^2-1}{3}$.
Next question I just use Jensen's inequality once.
Problem (1990 Austrian-Polish Math Competition)
Let $ n>1$ be an integer and let $ f_1,f_2,\dots, f_{n!}$ be the $ n!$ permutations of $ 1,2,\dots,n$ (each $ f_i$ is a bijective function from $ \{1,2,\dots,n\}$ to itself). For each permutation $ f_i$, let us define $ \displaystyle S(f_i)=\sum_{k=1}^n|f_i(k)-k|$. Find $ \displaystyle \frac{1}{n!}\sum_{i=1}^{n!}S(f_i)$.
My numerical answer. $ \displaystyle \frac{n^2-1}{3}$.
Next question I just use Jensen's inequality once.
Wednesday, February 24, 2010
惡補 linear algebra
.... bilinear ... multilinear .... 甚麼鬼東西...。
最近上 MATH204 愈來愈一頭霧水。
Lift 3 Room 5003
Problem (1990 IMO Shortlisted Problem).
For any $ x,y,z >0$, $ xyz=1$, prove that \[ \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge \frac{3}{4}.\]
我第一次看這條題目時它給的 condition 是 $ x+y+z\ge 3$，代替了 $ xyz=1$，不知道其用意。重提這問題的原因是那時因年少無知，提出了這樣的答法 (按我)。這很明顯是錯的，我們從來沒有學過考慮三組數字的排序不等式。所以以前看過我這做法的人，對不起，我錯了。
首次看到它的原因是在瀏灠 Mathdb 時看到這頁(按我)，看到「頗有難度的不等式題目」的 pdf，正巧那時我正研究着不等式，便嘗試着解決裏面的問題。
李教授提出這個例子的目的是要表現出 Muirhead 有多暴力。有學過 H$ \ddot{\text{o}}$lder's 不等式的話，我們能給出一個較``雅"的做法。證法是很明顯的，在這裏不花口水了。
最近上 MATH204 愈來愈一頭霧水。
Lift 3 Room 5003
Problem (1990 IMO Shortlisted Problem).
For any $ x,y,z >0$, $ xyz=1$, prove that \[ \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge \frac{3}{4}.\]
我第一次看這條題目時它給的 condition 是 $ x+y+z\ge 3$，代替了 $ xyz=1$，不知道其用意。重提這問題的原因是那時因年少無知，提出了這樣的答法 (按我)。這很明顯是錯的，我們從來沒有學過考慮三組數字的排序不等式。所以以前看過我這做法的人，對不起，我錯了。
首次看到它的原因是在瀏灠 Mathdb 時看到這頁(按我)，看到「頗有難度的不等式題目」的 pdf，正巧那時我正研究着不等式，便嘗試着解決裏面的問題。
李教授提出這個例子的目的是要表現出 Muirhead 有多暴力。有學過 H$ \ddot{\text{o}}$lder's 不等式的話，我們能給出一個較``雅"的做法。證法是很明顯的，在這裏不花口水了。
Tuesday, February 23, 2010
內地的高考
不等式是內地高考一個重要的課題。懷着好奇的心去做做看，不懂的還蠻多的...。以下都是些解了的題目，在此不提供解答了。
Problem 1. Prove that for any $ a,b,c\in\mathbb{R}$, $ \displaystyle \sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}.$
Problem 2 (Mircea Lascu). Let $ a,b,c$ be positive real numbers such that $ abc=1$. Prove that $ \displaystyle \frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{2}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3.$
Problem 3. Let $ a,b,c,x,y,z$ be positive real numbers such that $ x+y+z=1$. Prove that $ \displaystyle ax+by+cz+2\sqrt{(xy+yz+zx)(ab+bc+ca)}\leq a+b+c.$
Problem 1. Prove that for any $ a,b,c\in\mathbb{R}$, $ \displaystyle \sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}.$
Problem 2 (Mircea Lascu). Let $ a,b,c$ be positive real numbers such that $ abc=1$. Prove that $ \displaystyle \frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{2}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3.$
Problem 3. Let $ a,b,c,x,y,z$ be positive real numbers such that $ x+y+z=1$. Prove that $ \displaystyle ax+by+cz+2\sqrt{(xy+yz+zx)(ab+bc+ca)}\leq a+b+c.$
Monday, February 22, 2010
An integral that even wolfram integrator cannot find
Here is the ``discussion" from uwants (click me)
Another discussion from mathlinks (click me)
But I find it in a way totally different from them, that's a challenge to find the formula.
Problem. Find the explicit formula of the integral $ \displaystyle \int \frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{1+x^4}}\,dx$.
My way is as follows
Another discussion from mathlinks (click me)
But I find it in a way totally different from them, that's a challenge to find the formula.
Problem. Find the explicit formula of the integral $ \displaystyle \int \frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{1+x^4}}\,dx$.
My way is as follows
Sunday, February 21, 2010
局部調整法
Kin Li 教授 d material 真係教左種好方便的 skill，由其是個 Local Refinement Method 感覺由複雜變簡單。同學學左個技巧就可以解決到呢題。
Problem (IMO-1984-1). Let $ x,y,z$ be non-negative integers satisfying $ x+y+z=1$, prove that \[xy+yz+zx -2xyz\leq \frac{7}{27}.\]
一開始 fix 數切忌不要 fix 得太多。Smoothing method 到而家都仲未領會到。
soarer TA 已經發放了下星期 4 將會用的 tutorial notes...，然後我突然看到這一題。
Problem (USA-1997). Let $ a, b, c > 0$. Prove that $\displaystyle \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$.
只是借題發揮一下，這是一條需要很少不等式知識的題目。觀察到 $ (a^2-b^2)(a-b)\ge 0 \iff a^3+b^3\ge ab(a+b)$，我們便完成了這條問題。
My way.
$ \displaystyle\sum_{cyc} \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq\sum_{cyc}\frac{1}{ab(a+b) + ab(c)}=\sum_{cyc}\frac{c}{abc (a+b+c)}=\frac{1}{abc}$.
Muirhead 確實是很黃很暴力的不等式，它能夠令我們不加思索也能夠解決一條不等式的問題。在我的問庫中 (點我)，第 41 條正正是好例子。利用電腦運算它等同於要證明 \[ \displaystyle\sum_{sym}a^{12}b^3c^3 + \sum_{sym} a^9b^3c^3+\sum_{sym}a^6b^3c^3\leq \sum_{sym}a^{14}b^2c^2+\sum_{sym}a^{13}bc+\sum_{sym}a^{12}.\] 成立。比較相同次方的和，問題得證。有時不一定要齊次的時候才成功，用電腦爆它一爆可能別有洞天。
MATH190 可以開着 notebook 考試嗎?
An exercise in MATH204 assignment that suits MATH102
Problem. Find the range of $ p$ at which $ \displaystyle \lim_{{\normalsize (x,y)\to \vec{0},y^2>x>0}} \frac{x^py}{x^2+y^2}$ converges.
Problem (IMO-1984-1). Let $ x,y,z$ be non-negative integers satisfying $ x+y+z=1$, prove that \[xy+yz+zx -2xyz\leq \frac{7}{27}.\]
一開始 fix 數切忌不要 fix 得太多。Smoothing method 到而家都仲未領會到。
soarer TA 已經發放了下星期 4 將會用的 tutorial notes...，然後我突然看到這一題。
Problem (USA-1997). Let $ a, b, c > 0$. Prove that $\displaystyle \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$.
只是借題發揮一下，這是一條需要很少不等式知識的題目。觀察到 $ (a^2-b^2)(a-b)\ge 0 \iff a^3+b^3\ge ab(a+b)$，我們便完成了這條問題。
My way.
$ \displaystyle\sum_{cyc} \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq\sum_{cyc}\frac{1}{ab(a+b) + ab(c)}=\sum_{cyc}\frac{c}{abc (a+b+c)}=\frac{1}{abc}$.
Muirhead 確實是很黃很暴力的不等式，它能夠令我們不加思索也能夠解決一條不等式的問題。在我的問庫中 (點我)，第 41 條正正是好例子。利用電腦運算它等同於要證明 \[ \displaystyle\sum_{sym}a^{12}b^3c^3 + \sum_{sym} a^9b^3c^3+\sum_{sym}a^6b^3c^3\leq \sum_{sym}a^{14}b^2c^2+\sum_{sym}a^{13}bc+\sum_{sym}a^{12}.\] 成立。比較相同次方的和，問題得證。有時不一定要齊次的時候才成功，用電腦爆它一爆可能別有洞天。
MATH190 可以開着 notebook 考試嗎?
An exercise in MATH204 assignment that suits MATH102
Problem. Find the range of $ p$ at which $ \displaystyle \lim_{{\normalsize (x,y)\to \vec{0},y^2>x>0}} \frac{x^py}{x^2+y^2}$ converges.
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