惡補 linear algebra

.... bilinear ... multilinear .... 甚麼鬼東西...。
最近上 MATH204 愈來愈一頭霧水。

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Lift 3 Room 5003

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Problem (1990 IMO Shortlisted Problem).
For any $  x,y,z >0$, $  xyz=1$, prove that \[ \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge \frac{3}{4}.\]

我第一次看這條題目時它給的 condition 是 $  x+y+z\ge 3$，代替了 $  xyz=1$，不知道其用意。重提這問題的原因是那時因年少無知，提出了這樣的答法 (按我)。這很明顯是錯的，我們從來沒有學過考慮三組數字的排序不等式。所以以前看過我這做法的人，對不起，我錯了。

首次看到它的原因是在瀏灠 Mathdb 時看到這頁(按我)，看到「頗有難度的不等式題目」的 pdf，正巧那時我正研究着不等式，便嘗試着解決裏面的問題。

李教授提出這個例子的目的是要表現出 Muirhead 有多暴力。有學過 H$  \ddot{\text{o}}$lder's 不等式的話，我們能給出一個較``雅"的做法。證法是很明顯的，在這裏不花口水了。