局部調整法

Kin Li 教授 d material 真係教左種好方便的 skill，由其是個 Local Refinement Method 感覺由複雜變簡單。同學學左個技巧就可以解決到呢題。
 
Problem (IMO-1984-1). Let $  x,y,z$ be non-negative integers satisfying $  x+y+z=1$, prove that \[xy+yz+zx -2xyz\leq \frac{7}{27}.\]

一開始 fix 數切忌不要 fix 得太多。Smoothing method 到而家都仲未領會到。

---

soarer TA 已經發放了下星期 4 將會用的 tutorial notes...，然後我突然看到這一題。

Problem (USA-1997). Let $  a, b, c > 0$. Prove that $\displaystyle \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$.

只是借題發揮一下，這是一條需要很少不等式知識的題目。觀察到 $  (a^2-b^2)(a-b)\ge 0 \iff a^3+b^3\ge ab(a+b)$，我們便完成了這條問題。

My way.
$  \displaystyle\sum_{cyc} \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq\sum_{cyc}\frac{1}{ab(a+b) + ab(c)}=\sum_{cyc}\frac{c}{abc (a+b+c)}=\frac{1}{abc}$.

Muirhead 確實是很黃很暴力的不等式，它能夠令我們不加思索也能夠解決一條不等式的問題。在我的問庫中 (點我)，第 41 條正正是好例子。利用電腦運算它等同於要證明 \[  \displaystyle\sum_{sym}a^{12}b^3c^3 + \sum_{sym} a^9b^3c^3+\sum_{sym}a^6b^3c^3\leq \sum_{sym}a^{14}b^2c^2+\sum_{sym}a^{13}bc+\sum_{sym}a^{12}.\] 成立。比較相同次方的和，問題得證。有時不一定要齊次的時候才成功，用電腦爆它一爆可能別有洞天。

MATH190 可以開着 notebook 考試嗎?

---

An exercise in MATH204 assignment that suits MATH102

Problem. Find the range of $  p$ at which $  \displaystyle \lim_{{\normalsize (x,y)\to \vec{0},y^2>x>0}} \frac{x^py}{x^2+y^2}$ converges.