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Sunday, February 21, 2010

局部調整法

Kin Li 教授 d material 真係教左種好方便的 skill,由其是個 Local Refinement Method 感覺由複雜變簡單。同學學左個技巧就可以解決到呢題。
 
Problem (IMO-1984-1). Let x,y,z be non-negative integers satisfying x+y+z=1, prove that xy+yz+zx2xyz727.

一開始 fix 數切忌不要 fix 得太多。Smoothing method 到而家都仲未領會到。


soarer TA 已經發放了下星期 4 將會用的 tutorial notes...,然後我突然看到這一題。

Problem (USA-1997). Let a,b,c>0. Prove that 1a3+b3+abc+1b3+c3+abc+1c3+a3+abc1abc.

只是借題發揮一下,這是一條需要很少不等式知識的題目。觀察到 (a2b2)(ab)0a3+b3ab(a+b),我們便完成了這條問題。

My way.
cyc1a3+b3+abccyc1ab(a+b)+ab(c)=cyccabc(a+b+c)=1abc.

Muirhead 確實是很黃很暴力的不等式,它能夠令我們不加思索也能夠解決一條不等式的問題。在我的問庫中 (點我),第 41 條正正是好例子。利用電腦運算它等同於要證明 syma12b3c3+syma9b3c3+syma6b3c3syma14b2c2+syma13bc+syma12. 成立。比較相同次方的和,問題得證。有時不一定要齊次的時候才成功,用電腦爆它一爆可能別有洞天。

MATH190 可以開着 notebook 考試嗎?

An exercise in MATH204 assignment that suits MATH102

Problem. Find the range of p at which lim(x,y)0,y2>x>0xpyx2+y2 converges.

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