Independent study/Sping course list

presentation 的 "講義" (?)

http://ihome.ust.hk/~cclee/document/Inde_Presentation.pdf

蠻費精神的。第二個 section 有點無謂，kin li 早在 MATH370 把所有 Hilbert space 的 dual 都找出來了...。我想做 L^1 的 dual 比較有意義？

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spring course list 已出，已決定 MATH5112, 4321, 4822A, 4221, HUMA 1710, CENG 1700.

兩個 tetrahedra inscribed in a cube ...，點 q 畫呀 ..................。

http://www.math.umn.edu/~roberts/java.dir/JGV/tetra-in-cube.html

無聊地想 linear algebra & independent study 的 presentation

大概在上一個星期的 numerical analysis (MATH3312/231) 課 professor 毛毛 提到了一個 fact：

Theorem. Let $A$ be real $n\times n$ matrix, then $\lim_{n\to\infty}A^n=0\iff\rho(A)<1$.

其中當 $A$ 為 $n\times n$ real matrix，我們定義 $$\sigma(A):=\{\lambda\in\mathbb{C}:A-\lambda I\text{ is not inveritble}\}$$ 為 $A$ 的 spectrum (也就是說 $\sigma(A)$ 是 $A$ 所有的 eigenvalue)。且定義 spectral radius 為 $\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda \in \sigma(A)\}$。

上面 $\lim_{n\to\infty}A^n=0$ 可理解為 $\lim_{n\to\infty}A^n \mathbf x = 0,\forall \mathbf x\in \mathbb{R}^n$。Google 一下 spectral radius 這個字就有以上那個結果的證明，且用到了 Jordan decomposition，當然我有一個更簡單的解 (TA 也確定是正確的證明)，不須用到這工具。但看來就是沒有人有興趣~，還有人說這是 trivial 的 (那是一位 applied math 學生)，我無言了。

我們現在證明上述定理。可知 $(\Rightarrow)$ 是顯然的，現證 $(\Leftarrow)$：

Proof. It is a well-known result in linear algebra that every matrix can be made into an upper triangular matrix  under a change of basis. That is, by reviewing $A$ as a linear operator from $\C^n$ to $\C^n$ rather than a real matrix, there must be a basis in $\C^n$ so that the matrix of $A$ w.r.t. this basis becomes upper triangular. A simple proof can be found in ALGEBRA written by Michael Artin.

We upper triangularize $A$  by some $P\in GL_n(\C)$, i.e.,
$$U:=PAP^{-1}= \begin{bmatrix} \lambda_1& b_{12} &\cdots   &   b_{1n} \\ 0 &\lambda_2& \cdots  &  b_{2n}     \\ 0 & 0 & \ddots  &   \vdots    \\ 0 &0  &    \cdots   &\lambda_n \end{bmatrix},$$ then $U\mathbf e_1=\lambda_1 \mathbf e_1$, and $U^j \mathbf e_1=\lambda_1^j\mathbf e_1$ and hence  $|\lambda_1|<1\implies U^k \mathbf e_1\to 0$.

We complete the proof by induction, assume there is $k\in \N$ so that
$$\lim_{j\to\infty} U^j(\mathbf e_1),\dots,\lim_{j\to\infty} U^j(\mathbf e_{k-1})=0.$$ Then since $U(\mathbf e_{k})=\sum_{i=1}^{k-1} b_{ik}\mathbf e_i + \lambda_k \mathbf e_k$, we have
$$U^{j+1}(\mathbf e_{k})=\sum_{i=1}^{k-1} b_{ik}U^{j}(\mathbf e_i) + \lambda_k U^j(\mathbf e_k).$$ For a vector $v\in \C^n$ let's denote $v^\ell$ to be its $\ell^\text{th}$ coordinate, then one has
$$(U^{j+1}(\mathbf e_{k}))^\ell=\sum_{i=1}^{k-1} b_{ik}(U^{j}(\mathbf e_i))^\ell + \lambda_k (U^j(\mathbf e_k))^\ell,$$ this implies
$$\big|(U^{j+1}(\mathbf e_{k}))^\ell\big|\leq\sum_{i=1}^{k-1} |b_{ik}|\big|(U^{j}(\mathbf e_i))^\ell\big| + |\lambda_k| \big|(U^j(\mathbf e_k))^\ell\big|.$$ By induction hypothesis $\lim_{j\to\infty}U^j (\mathbf e_i)=0$ for $i=1,2,\dots,k-1$, one has for any $\epsilon>0$, there is an $N$ such that $$j>N\implies \big|(U^{j+1}(\mathbf e_{k}))^\ell\big|<\epsilon+  |\lambda_k| \big|(U^j(\mathbf e_k))^\ell\big|.$$ This actually implies $\lim_{k\to\infty} \big|(U^{j+1}(\mathbf e_{k}))^\ell \big|=0$ since $|\lambda_k|<1$. As this is true for $\ell=1,2,\dots,n$, so $\lim_{j\to\infty} U^j(\mathbf e_k)=0$.

We conclude by induction that $\lim_{j\to\infty} U^j(\mathbf e_k)=0$ for $k=1,2,\dots, n$. Since each vector in $\C^n$ is spanned by $\{\mathbf e_i\}_{i=1}^n$, we conclude $U^j\to 0$. Since $A^j=P^{-1}U^j P$, we conclude $A^j\to 0$ on $\C^n$, and of course, on $\R^n\subseteq \C^n$.$\qed$

Remark. For the ($\Leftarrow$) we may also use a famous result in Banach algebra. It is known that the formula of spectral radius of the matrix $A$ is $\limn \|A^n\|^{1/n}$. So $\limn \|A^n\|^{1/n} < 1$ implies we can choose $r<1$ such that there is $N\in\N$, $$n>N\implies \|A^n\| < r^n \implies \limn \|A^n\|=0 .$$ Finally for each $x\in \R^n$, $\|A^n x\|\leq \|A^n\| \|x\|$, so $A^n \to 0$ pointwise on $\R^n$.

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話說我在這個 sem 跟 kin li 學 Fourier analysis。初頭也是正正常常地學 fourier series on $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，其後因為我在修讀的 MATH5111/511 教 finite group representation 的關係，我便開始讀 noncommutative 的 harmonic analysis 了...。最後我的 presentation project 更差點變成 existence of Haar measure on locally compact metrizable group。我其後在想，這和 fourier analysis 關係不太大吧...，便要求只證 existence of Haar measure on compact group，取而代之以 fourier series 的方法 determine $L^2(Q,m)$  的 dual，其中 $Q\subseteq\mathbb{R}$ 是 measurable 及 $m$ 是 Lebesgue measure。

Classification

最近在 (midterm 前一日) 溫習 midterm 時不忘抽時間完成 MATH511 的 take-home midterm，最近令我痛苦萬分的莫過於 classify 一個給定 order 的 group。我們的 midterm 問題都是從 Artin (2nd edition) 裏抽出來，第 6, 7 課合共 10 題，其中一題就是 classify group of order 33, 18, 20, 30。33 和 30 還好，但對初初起手去做 classification 的我來說， 18 及 20 是一埸悲劇。你要做的，和 classify order 12 (書的其中一個 subsection) 沒兩樣...。

Link:

Chapter 5 不錯看！

http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/book/pdfbook.html

作者也有一些 measure theory 的 notes，嗯........，有空才看。

note to myself

• For $2L$ periodic functions, $\displaystyle a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\cos nx\,dx$ for $\displaystyle n\ge 1$ and $\displaystyle b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin nx\,dx$ for $\displaystyle n\ge 1$.


• $\displaystyle\hat f(0)=\frac{a_0}{2}$ and for $\displaystyle n\ge 1$, $\displaystyle \hat f(n) = \frac{a_n- i b_n}{2}$, $\displaystyle \hat f(-n) = \frac{a_n+i b_n}{2}$, which is easily shown by expanding $\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k\cos kx + b_k\sin kx)$.

These two translate the general theory to real-valued function. For example, in the theory of fourier series, we know that for each $f\in L^2(\mathbb T)$, we have $$\|f\|^2:=(f,f)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f|^2 = \sum_{n\in \mathbb Z}|\hat f(n)|^2=: \|\hat f\|^2.$$

where $\displaystyle \hat f := (\hat f(0),\hat f(1),\hat f(-1),\hat f(2),\hat f(-2),\dots)\in \ell^2$ has the same norm as that of $\displaystyle f$. Thus we say that the linear map $\displaystyle f\mapsto \hat f:L^2(\mathbb T)\to \ell^2$ is isometric. Ok, let's prove that this is equivalent to (for real $f\in L^2[-L,L]$) $$\displaystyle\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} |f|^2 = \frac{(a_0)^2}{4}+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n^2+b_n^2}{2}.$$

唔...

開始會使用 fourier series 的方法證明 real analysis 的一些命題 (都是書中的習題)。例如，polynomial is dense in $C[a,b]$ (有點像副產物)；或是：利用 $L^2(\mathbb R,m)$ 的 hilbert space structure 我們能夠 identify 整個 $\big(L^2(\mathbb R,m)\big)^*$，從而我們亦可以 identify 整個 $\big(L^1(\mathbb R,m)\big)^*$。

$\Z+2\pi \Z$ 在 $\R$ 中稠密

第一次看到 (從 exercise) algebra 在 analysis 有簡單又得意的應用...。例如，證明 $$\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt{2}:=\{m+n\sqrt{2}:m,n\in \mathbb Z\}$$ 是在 $\mathbb R$ 中稠密 (dense, with usual metric)。證明很簡單，因為 $(\mathbb R,+)$ 中的子群要麼在 $\mathbb R$ 中稠密，要麼可表達成 $\mathbb Z a,a>0$，而後者是不可能的，不然 $a\in\mathbb Q\cap( \mathbb R\setminus \mathbb Q)=\emptyset$。類似地，不難證明對所有有理數 $q$ 及 無理數 $r$ 有 $\overline{\mathbb Z q +\mathbb Z r}=\mathbb R$。

有趣的是，對於 $r\in \mathbb R\setminus \mathbb Q$ 我們考慮 $\langle e^{i r\pi}\rangle=\exp(i\mathbb Z r\pi)=\exp(i(\mathbb Z 2 + \mathbb Z r)\pi)$，但 $\mathbb Z 2 + \mathbb Z r$ 在 $\mathbb R$ 中稠密，也就是說由 $e^{ix}$ 在 $\mathbb R$ 上的連續性可知，$\exp{(i\mathbb Z r\pi)}$ 必定在 $S^1:=\{e^{i\theta}:\theta\in\mathbb{R}\}$ 中稠密！(尤其是，可取 $r = 1/\pi$，那麼 $\exp{(i\mathbb Z )}$ 在  $S^1$ 上稠密，因而 $\overline{\sin \mathbb Z} = [-1,1]$ 及 $\overline{\cos \mathbb N} = [-1,1]$！)

Finallized workshop notes in analysis (simple fact on metric space, measure and measurable function), PW: My ITSC account

Welcome to point out any mistake.

The following is for 2 in 1 printing, it is to save your paper/print budget:
http://ihome.ust.hk/~cclee/document/WorkshopinAnalysis.pdf

Workshop 結束

其實原名為 workshop in real analysis，最後 workshop 講唔到 integration，時間不足。我地有 7 次 meeting，每次用一至一個半鐘黎做 present，10 至 15 分鐘休息及將淨低嘅時間用黎講 notes。每次 workshop 為時三個鐘。已講 topic:

notes 喺每次 workshop 前準備，打下打下都 40 頁 notes。都整得幾辛苦，d theorem 用就用得多，從新 develop 返出黎都幾麻煩。any way 對我黎講得著唔係太多 :)，因為 d 野都比較 basic。希望下個 summer 會有人幫我完成埋 integration 果 part 同埋 expand 返第一課嘅野 (compactness, total boundedness, completeness, connectedness, etc)。

無聊之下嘅產物

喺 Royden (4th edition) p.452 有一 Theorem 將 locally compact Hausdorff space 有嘅 property 集埋一齊：

其中證明 (iii) 嘅主要工具係 Urysohn's lemma，但由 Urysohn's lemma 又可推出 Tietze Extension Theorem， 從 (iii) 我地應該可以做得更多。

Modification of (iii). Let $X$ be locally compact Hausdorff. If $\mathcal O$ is a neighborhood of a compact subset $K$ of $X$, then the continuous function $f:K\to \mathbb R$ may be extended to a function $F\in C_c(X)$ for which $F$ vanishes outside $\mathcal O$.
If $f$ is bounded, say $|f|\leq M$ for some $M>0$, then the extension above can be chosen so that $|F|\leq M$ on $X$.

Proof. As $K$ is compact and $\mathcal O\supseteq K$, by (ii) of theorem 7 above there is an open $V$ such that $K\subseteq V\subseteq \overline{V}\subseteq \mathcal O$ with $\overline{V}$ compact. Once again by (ii) of  theorem 7 above there is an open $U$ such that
$K\subseteq U\subseteq \overline{U}\subseteq V\subseteq \overline{V}\subseteq \mathcal O$.

Now we do our extension, as $\overline{V}$ is a compact Hausdorff space, $f$ is continuous (w.r.t. subspace topology) on $K$, by the Tietze extension theorem there is a $\mathcal F\in C (\overline{V})$ such that $\mathcal F|_{K}= f|_K$, we extend $\mathcal{F}$ on $X\setminus \overline{V}$ by defining $\mathcal F|_{X\setminus \overline{V}}\equiv 0$. The change of $\mathcal F$ between $\overline{V}$ and $X\setminus \overline{V}$ may not be continuous, we will try to ``smooth" this transition. As $K$ is compact and $U\supseteq K$, by (iii) of theorem 7 there is a $\psi \in C_c(X)$ such that $0\leq \psi \leq 1$, $\psi=1$ on $K$ and $\psi=0$ on $X\setminus U$. Now we claim that the product of continuous functions $F:= \mathcal F \cdot \psi$ will do.

Clearly $\mathop{\mathrm{supp}} F \subseteq \mathop{\mathrm{supp}} \psi$, hence $F$ has compact support. To show $F$ is continuous on $X$ we use the following fact:

Fact. Let $X=\cup_\alpha X_\alpha$ be a union of open subsets. Then $f:X\to Y$ is continuous if and only if the restrictions $f|_{X_\alpha}:X_\alpha \to Y$ are continuous, where $X_i$ has the subspace topology.

Proof. It follows from the observation that: For any subset $A$ of $Y$, $f^{-1}(A)= \cup_{\alpha} (f|_{X_\alpha})^{-1}(A)$.$\qed$

Observe that both $X_1:=V$ and $X_2:=X\setminus \overline{U}$ are open, $X=X_1\cup X_2$. It is enough to argue $F|_{X_i}$'s are continuous. On $X_1$, since $\mathcal F$ is a continuous function on $\overline{V}$, $\mathcal F|_V$ is therefore a continuous function on $V$. And as $\psi$ is continuous on $X$, so $F|_{X_1}$ is continuous. On $X_2$, since $\psi|_{X\setminus U}\equiv 0$ $\implies$ $\psi|_{X\setminus \overline{U}} \equiv 0$, and thus $F|_{X\setminus \overline{U}} \equiv 0$, hence $F|_{X_2}$ is continuous on $X_2$. We also note that $F|_{X\setminus \mathcal O}\equiv 0$.

When $|f|\leq M$ on $K$, we repeat the proof above but that time $\mathcal F$ can be chosen such that $|\mathcal F|\leq M$ by the following version of Tietze extension theorem.$\qed$

建立呢種 extension 嘅原因係為左證明 Lusin's theorem on $(X,\mathcal B(X),\mu)$，其中 $X$ 為 locally compact Hausdorff，$B(X)$ 為 Borel $\sigma$-algebra on $X$ 及 $\mu$ 為 Radon measure (Royden's definition: A Borel measure such that Borel set is outer regular and open set is inner regular)，我嘅 approach (某習題) 係先證明 Lusin's theorem 對 simple function 成立，從而利用 simple functions $\{\phi_n\}$, $\phi_n\to f$ pointwise 及 Egoroff's theorem 及再利用上述 extension 完成證明 (已證明若 $E\in \mathcal B(X),\mu(E)<\infty$，那麼 $E$ 是 inner regular)。

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Some problem for entertainment:
Problem. Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be a differentiable function so that $\displaystyle\left|f(x)-\sin(x^2)\right|\le\frac{1}{4}$ for any $x\in\mathbb{R}$. Prove that there exists a sequence of real numbers $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ for which $\lim_{n\to\infty} f'(x_n)=+\infty$ .

見工失敗

前排去左樂善堂余近卿中學面試去做份做八日就賺到五千嘅暑期班，貌似係為考試唔合格嘅學生而設嘅補底班黎 (亦即係我冇乜機會發揮嘅班)。咁好喇我自己又冇乜點見過工，見步行步。去到自我介紹，我講唔夠一分鐘就收口，深知不妙，最終不獲聘收埸。

我估最大原因係我冇乜教學經驗。原因係，首先我係該校校友推薦；其次係請人果位老師係 UST 師姐；再者，我個樣都算平易近人丫...。但間間學校都係以經驗為優先嘅話咁我邊鬼有經驗喎...。同埋我都唔算冇教學經驗，不過對像係班 UG year 1 ...。

暑假。學

最近都喺到學 real analysis，學習方法係：睇課文，然後完成果個 section/chapter 最少一半問題。基本上 Royden 第 4 edition 嘅 2, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 18(.1, .2, .3, .4), 19(.1, .2), 20(.1, .2) 課都俾我``做"左。唔急於學新嘅野，只求確定自己已學嘅野唔會學得太表面同有果方面嘅解難能力 (當然會驚唔識做 d 問題...但 no pain, no gain)。本來想開始 chapter 21，但，賣割...！因為佢 study locally compact Hausdorff space，有 d result on normal space 要學返──例如 Urysohn's lamma，偏偏就係嚴民冇教果 d。我其實好想佢唔教第 8 課，即講 surface 果課，而講多 d point-set topology ...。

可能有同學問點解我明明已經讀左 math 204 仲要走去讀返 Lebesgue measure 嘅野呢？其實正正係因為讀 204，我發覺有非常大嘅必要去學返好 Lebesgue measure 知識。嚴民教授嘅 math204 課程範圍大得非常之有問題 (個人角度)，要我地短時間由少少 Lebesgue measure (少少，係少少，所有引理/命題/定理全部都只係關注有界集)，然後證完 Carath$\text{\'{e}}$odory 就直接跳去 general measure。冇錯我咁樣識左 general measure $\to$ integration $\to$ product measure $\to$ signed measure, Randon-Nykodym，但學得非常之唔實在。單單 Lebesgue measure 仲有好多課題可以講，Borel $\sigma$-algebra、dense subspace of $L^p(E)$、Egoroff, Lusin's theorem (我記得變左做 exercise)、approximation of measurable function by simple functions (結合 Lebesgue dominated convergence theorem，解 integration 題目嘅利器)、approximation of measurable set by $G_\delta,F_\sigma$ (簡單應用：前者可以用返喺 integration；後者可以證 Lipschitz function take measurable set 去 measurable set)，等等。好可惜，我喺 204 冇機會學到呢 d 基本野。

而喺我學緊呢 d 基本野嘅同時，有一班 year 1 想搞 workshop，我就即刻諗：「仲唔上馬？」順便 pre 一 present 我解過嘅題 (大部份 presentation problem 嘅來源都係 royden，仲有好多 exercise 我未放落 presentation 到，有 d 係 LCM notes 標住 ``difficult" 嘅問題，有 d 係胡繼善份 notes 嘅題且有 d 答案用左三頁紙，但我有方法只做一頁多少少)。

Workshop 嘅 notes 唔打算 upload 上黎 wordpress 住……，等到改好哂之後，確定冇乜錯漏先再放上黎。

其實呢個假唔單止睇 Royden，有 d American Mathematical Society 出版嘅書都寫得非常之好，我抽左一兩個 topic 黎睇。例如，一年前學左 Randon-Nikodym theorem，前幾日知道佢嘅應用──證明當 $1\leq p<\infty$ 時，對於 $\sigma$-finite 嘅 measure space $(X,\mu)$，有 $(L^p(X,\mu))^*=L^q(X,\mu)$，其中 $q$ 為 $p$ 的 conjugate。我打算睇睇同樣嘅 theorem 其他書有冇更好嘅證法。Inder K. Rana 所寫嘅 An Introduction To Measure and Integration 都有同樣嘅證法，不過當 $p>1$ 時佢做多一小步，將結果即刻推廣到任意 measure space $(X,\mu)$，兩頁紙內證完。

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A simple problem for entertainment.

Problem. Let $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be a continuous function. A point $x$ is called a shadow point if there exists a point $y\in \mathbb{R}$ with $y>x$ such that $f(y)>f(x)$. Let $a<b$ be real numbers and suppose that

• All the points of the open interval $I=(a,b)$ are shadow points;


• $a$ and $b$ are not shadow points.

Prove that

1. $f(x)\leq f(b)$ for all $a<x<b$;


2. $f(a)=f(b)$.

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Workshop 已暫停兩個星期 (原因係班人要做人口普查)，下個星期五開始照常繼續。黎緊兩個星期，一日講返多 d measure，一日開始講 approximation of measurable function，換句話說，Littlewood's 3 principle (我譯為``小木三律" =w=) 其中兩條 。

暑假很忙，精力都被抽到 UROP 及 Analysis Workshop 裏。

對我來說現在的日子大可分為科大 libra 開/閉 的日子。既然今天沒開放，那我就沒回科大的意欲，今天例外到其他地方吃午飯。我去…吃個飯要 30 多元，我在科大加杯凍飲只需 21 元呀…… 。

不得不說我的自控能力有問題，在家裏對着電腦說怎樣也不能安心看書……，趁機把 workshop notes 打好吧。以下是 workshop 的 syllabus：

http://ihome.ust.hk/~cclee/document/workshop.pdf

及每星期都要做的 presentation!

http://ihome.ust.hk/~cclee/document/WorkshopPresentation.pdf

感謝 Kin Li 幫忙 book 課室及贈送大量白板筆！人數還維持在 4 名 year 1，及我，8 seats 的 libra 課室明顯很勉強 (間中總會有一些 year 1/year 2 間歇性插入...)。

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回想起一年前某 TA 開了 topology workshop，我上了第一天便沒再去了……(實在太悶，那 TA 想有互動，但那種互動只是簡單的答幾道問題。所以我開 workshop 要求參加者答不太 obvious 的題，有一至兩星期準備，這樣才有趣)，當時包括我在內有 4 位準 year 2，有趣的是只有我其後 reg topology 這個 UG course … ，我想這 TA 心已碎吧。

Grade 已出

Lang 外的另外 5 科的 grade 已出。今個 sem 平平安安的度過，只是 COMP 170 拿了一隻 B+。 本 sem 的 courses：MATH303, 304, 323, 371, COMP170, LANG209。 評論的話：

303, 304：淺，courses for everyone，303 workload 重，304 幾乎沒 workload，兩者也是 hea 人必選 (反正功課臨急臨忙總會有人想到方法抄的)。
323：大家都知道嚴民是很好很好的 lecturer！聽他對課文的解說時總覺得明了九至十成，但課後複習 (或做功課) 時感覺上堂沒學到甚麼……(203, 204 已有此感覺)。workload 重，但很充實。
371：只能說幸好有同時讀 323 (不然 locally convex space、weak topology, its local base、weak-continuity 之類的 concept 很難理解)。內容很 abstract，theorem 要背熟，不然根本用不出來...。整個學期功課只有 3 份 (是令我很痛苦的三份功課)，功課以外的問題有 full solution。mid-term 最後的題沒甚麼人做到。Final 是 take home 的，所以壓力不太大。尤其是整個 course 人數只有 10 人，3 名 local (包括我)，餘下的不是 PG 就是 mainland，很叫人興奮。

望着那些 paper，再望望那堆 conjecture，很無助...。

日常

今天在拉巴門口碰到 kin li，我問：「何時要來見你呢？手頭上的那幾份 paper 還沒有開始看‥‥‥。」他答：「well，反正我想多放一星期假，下星期六才開始吧。」也就是說直至今個星期的完結我還可以暫時 ``hea" 下去 XD。

LANG Microteaching

最近整左個 file 作為 micro taching 嘅 ``material" (其實都係做樣，有人睇先算)。

http://ihome.ust.hk/~cclee/document/microteaching.pdf

咁 present 時當然唔可以用 d 咁 dense 嘅野...，我求求其其將佢 extract 左做 slide

http://ihome.ust.hk/~cclee/document/testbeamer.pdf

當中所有圖都係 tikz 畫，真係好 Q 麻煩，不過幾煩都好，都係熟能生巧...。其中我 define 左兩個 command 幾好用，留喺呢個 blog 等自己想搵返先都方便 d。

畫兩條線之間嘅 arc about 某一點：
#1 = pt, #2 = from which angle, #3 = to which angle, #4 = radius
\newcommand{\arc}[4]{#1 + (#2:#4) arc (#2:#3:#4)}

至於畫直角：
#1 about which point:
#2: angle of diagonal point
#3 length of diagonal line
\newcommand{\rightangle}[3]{
$$\begin{scope}[shift={#1}] \coordinate (the point u draw angle) at (0,0); \coordinate (diagonal point) at (#2:#3); \coordinate (one side) at ($(the point u draw angle)!0.707106781186!45:(diagonal point)$); \coordinate (another side) at ($(the point u draw angle)!0.707106781186!-45:(diagonal point)$); \draw(one side) -- (diagonal point)--(another side); \end{scope}$$
}

實際上冇可能下下都好準確咁計哂 d angle 出黎 (太花時間)，所以好多時都係靠估，然後睇下 match 唔 match。

烏籠...

今日上 math 323 tutorial, 而且今日功課 dead line, tutorial 完左照舊又係同人吹吹 topology d 野, 跟住發覺我將所有功課裏面有關喺 topological space $(X,\mathcal{T})$ 上,  collection of limit point of $A$ 嘅 definition 寫左做 $$x\in A' \iff \forall U\in N_x\triangleq \{V\in \mathcal{T}:x\in V\},( U-\{x\})\cap A\neq \emptyset.$$ 咁我呢 D 乖學生黎, 有錯梗係即改, 但改好哂之後就喺到諗, $( U-\{x\})\cap A$ 同 $U\cap (A-\{x\})$ 好似冇分別喎......=.=.

Differentiation under the integral sign

http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign

原來有好多人都唔知呢條式嘅存在...，anyway 我都 state 左條 formula 同 condition 俾班同學聽，唔知佢地會唔會唔識證 (正常知條 formula 嘅詁 year 1 知識就夠哂數=.=)。

好似冷落左呢個 blog

已經開 sem 一個星期，再加埋前段時間都冇乜再喺個 blog 打野，原因大概都係就我嘅人生，唔係科大就係屋企。所以基本上都冇乜事情可以分享...。我亦大概都會愈黎愈少喺呢個 blog 分享問題，除非對某些問題有另一種見解，從而推出更多有趣嘅 fact。

上個 sem 一科 analysis 都冇，呢個 sem 同上個 sem 最大分別係大部分都係同 analysis 有關。 而且意外自己會走去 take COMP170，我轉性了。

上左兩堂 323，撞到兩個 year 1 sit 323 嘅堂 (自愧當年自己連 topology 有乜 sit 嘅價值都唔知)。為左令到佢地可以有恆心繼續 sit 落去。我決定每星期都贈送一條同 202 進度有關嘅問題。既然教到 differentiation，我就 ``求其" 搵兩條出黎。其實 d 問題大概唔係自己喺 problem book 到抽，就係上 mathxxxxs 搵，我有信心就算自己冇某個 topic，都可以搵到有趣嘅問題黎問 (不過我自己癖好係自己 solve 到先會問人，所以有一兩堂俾唔到問題都唔奇)。

最後，我應該唔會申請人口普查份工。原因係我想嘗試讀完呢個 sem d 野去搵 L 教授做一 d research project。不過我都係要問清楚 d 先，因為我只係隱約記得研究嘅內容同 differential equation 嘅解嘅存在性有關。