煩

Problem. Verify that $  z=z(x,y)$ which is implicitly defined by $  \displaystyle x^2+y^2+z^2=yf\left(\frac{z}{y}\right)$ satisfies the partial diiferential equation
$  \displaystyle (x^2-y^2-z^2)\frac{\partial z}{\partial x}+2xy\frac{\partial z}{\partial y}=4xz$.

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要證 2 個 statement 等價，只須證明 $  (1)\implies (2)\implies (1)$, 但去到 4, 5 或更多個 statement，順序證明有可能令我們讚進死胡同。打個比方，若要證明 4 個 statement 等價，先證 $  (1)\implies (2)\implies (3)$ 卻發現自己 $  (3)\implies (4)$ 怎樣也想不到，可是 $  (2)\implies (4)$ 卻十分簡單，不妨先完成 $  (1)\implies (2)\implies (3)\implies (1)$，再從中把 $  (2)$ 抽出來證明 $  (2)\iff (4)$。這裏我們需要多做一步，但相對地可把問題變得簡單。

Math202 那份關於 integrability 的 notes，最後的第二條，有關證明四個命題等價的問題，若發現由第 3 到第 4 出現困難的話，不妨蹺一條長一點，但較平坦的路。

最後，當大家大至上認為自己對 integrability 有一定的認識，可嘗試 09 spring math203 final 有關 integrability 的題目：

Problem. Suppose $  f(x)$ and $  g(x)$ are integrable on $  [a,b]$. Prove that for any $  \epsilon > 0$, there is $  \delta>0$, such that for any partition $  P$ satisfying $  \|P\|<\delta$ and choices $  x_i^*,x_i^{**}\in [x_{i-1},x_i]$, we have \[
\left|\sum f(x_i^*)g(x_i^{**})\Delta x_i-\int_a^bf(x)g(x)\,\mathrm{d} x\right|<\epsilon.
\] 這大至上證明了，就算 $  x_i^*$ 和 $  x_i^{**}$ 所取的值不同，同樣有和相同選擇時的結果。