出左分, 一些可介紹給中四的不等式。

MATH190 20/20
MATH151 100/100

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在中四的數學科 (DSE 微分應該必修？不清楚) 裏，談到不等式，最多只可以問一些 $ |\sin x|, |\cos x|\leq 1$ 這類型 fact 或 $ f(x)=ax^2+bx+c$ 可以有最大/最少值的問題。

現在問，若要求你找 (例如) $\displaystyle \frac{\sin \phi}{2-\cos\phi}$ 在 $ 0\leq \phi\leq \frac{\pi}{2}$ 的最大值，作為一個中四沒有 a.maths 的學生，怎樣找？這是一個可以考考學生的問題。
開估！觀測到 \[
\frac{\sin\phi}{2-\cos \phi} =\sqrt{\frac{1-\cos^2\phi}{(2-\cos\phi)^2}}\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{u=2-\cos \phi}\sqrt{\frac{1-(u-2)^2}{u^2}}=\sqrt{-1+4\left(\frac{1}{u}\right)-3\left(\frac{1}{u}\right)^2}.
\] 這裏最大的 observation 就是可以再建構另一條 quadratic equation，由 completing factor 可找出最大值。

若有另類的簡單解法，不妨通知我，其實這問題和 march 26 的面積問題是相連的 (所以我才說中四的知識便足夠)。我有另一個 idea，是使用 discriminant，但未見成果。