陳志雲陳水扁有「真的假不了，假的真不了」

我有「好的說不了，說的好不了。」
我的嘴蠻臭。

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最近在高登看到不錯的不等式題目，當然你知道 Jensen's inequality 的話可以把這三條秒殺。
現在限制自己只知道 Cauchy-Schwarz inequality，考考腦筯，試證明：
對於正數 $x_1,x_2,\dots,x_n$， $m,n\in\mathbb{N}$，有

(a) $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}\leq\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{n}\right)^{1/2}\leq \left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^3}{n}\right)^{1/3}$
更一般地，證明
(b) $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}\leq\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^m}{n}\right)^{1/m}$.

這裏所謂的一般跟你所期望的可能有點不同，事實上，一般地對於正整數 $m$ 以下的不等式依然成立， $$\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^m}{n}\right)^{1/m}\leq \left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^{m+1}}{n}\right)^{1/{(m+1)}}.$$

容易由 Jensen's inequality 得到結論，well... 我不確定 Cauchy 是否也能夠成功用在它的證明上 (我相信它不是萬能吧.....)，有興趣的可以試試，做到的話記得通知我，我會放到我的 problem book 裏。
(c) 對於 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n\in\mathbb{Q}^+$，$\beta = \beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_n$，有 $$\frac{\sum_{i=1}^n\beta_ix_i}{\beta}\leq \left(\frac{\sum_{i=1}^n\beta_ix_i^m}{\beta}\right)^{1/m}.$$
現在 MATH202 正在教一些有關「測度」的知識。它令我解決了 4 個多月來的疑惑。
從前嚴民教授提到：「An integrable function must be continuous somewhere」，嚴民教授只是順便講講這個 fact，我弄不明白，便走去問了 LCM。但最後是不了了之 (應該是考慮到我不懂 Lebesgue's theorem 吧)。有了這個定理要證明它真係十分簡單，假設那個 function 處處不連續，那麼它的所有斷點所集成的一個集並不是一個零測集 (of measure zero)，也就是說那 function 本身不是 integrable 的，矛盾。因此，一個 integrable function 必定在某處連續。有了這個 fact，又可以證其他 fact 了。